3.2 柯西积分定理与原函数一、柯西定理及其推论1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关。定理3.2 （Cauchy定理）设 f (z)在单连通域E内解析, C为E内任一简单闭曲线，则证明：“在E内连续”的条件下进行证明 。 只就令则 在E内连续有由 的偏导数在E内连续，并适合CR条件： 所以由格林公式得即定理3.3如果函数 f (z)在单连通域E内解析，那么只与起点与终点有关 ，而与C的路径无关。例1设C是正向圆周则以下积分都等于0。(1)(2)(3)二、原函数与不定积分若在E内固定起点在E内变化，而让终点连接与 的任意曲线， 则就定义了一个单值函数， 记为：定理3.4 设 f (z)在单连通域E内解析，点则在E内解析 ，且C为证因 f (z)在E内解析， 由定理2 ，F (z) 与路径无关 ， 从而P (x , y)与Q (x , y)路径无关 ，所以P (x , y)与Q (x , y)在E内可微，并且有从而有所以 F (z)为解析函数， 且f (z)的任两个原函数只相差一个常数。若函数 f (z)在区域D内解析，f (z)在D内的一个原函数，原函数与不定积分定义3.2设函数 f (z)在区域D内连续， 若D内的函数满足条件则称为 f (z)在D内的一个原函数，的不定积分。f (z)的全体原函数称为 f (z)定理3.5是则为 f (z) 的一个原函数令得令得证明 ：例2 计算下列积分解：1）2）三、复合闭路定理（柯西定理的推广）复合闭路c区域D内一条正向 简单闭曲线与内部的有 限条互不包含互不相交的负 向闭曲线组成， 即有定理3.6 （复合闭路定理）如果 f (z)在多连通域D内解析， 复合闭路所围成的区域全包含于D中，那么即证明 ：如图所示 ：互不相交 ，且全在D内的辅助割线 使分别与连接, 形成一个以的单连通区域， f (z)在该区域内解析，从而为边界注意到沿与沿的积分相抵消，即得作n条例3闭路变形公式若 f (z)在以为边界的闭环形域中解析，则有设c为包含的任一条正向闭曲线。求：（n为整数)解：以为圆心作圆c1 ，使c1包含于c内， 由复合闭路定理得：例4计算的值， 其中c为内部包含 z =0和z=1的任何正向简单闭曲线。解：如图所示，在c内分别作以 z=0和z=1为圆心互不相 交、互包含的正向圆周和则由复合闭路定理有设D是以光滑曲线C为边界的单连通区域(也可为一般区域，此时，C是多条光滑或按段光滑的曲线组成，其正向按区域边界的正向约定取)，函数P(x,y)和Q(x,y)在D及C上连续并且具有对x和y的连续偏导数，则有：格林(Green)公式