第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1 1页页第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理本章主要内容： 1. 大数定律。2. 中心极限定理。第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第2 2页页大数定律大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 给出几种大数定律：切比雪夫大数定律（定理5.1）P105；贝努里大数定律（定理5.2）P106 ；辛钦大数定律（定理5.3）P107.第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第3 3页页大数定律一般形式： 若随机变量序列Xn满足：则称Xn 服从大数定律.第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第4 4页页5.2 5.2 切比雪夫不等式切比雪夫不等式设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数，有下面不等式成立第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第5 5页页5.3 5.3 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律定理5.1设Xn 相互独立，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.证明用到切比雪夫不等式.第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第6 6页页贝努利贝努利大数定律大数定律定理5.2设 n 是n重贝努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0，有第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第7 7页页辛钦大数定律辛钦大数定律定理5.3若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在E(Xi)=a。则 Xn服从大数定律.第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第8 8页页5.45.4 中心极限定理中心极限定理正态分布是概率统计中最重要的分布， 其原因在于： 1. 很多随机现象可以用正态分布描述；2. 很多随机现象可以近似用正态分布描述。第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第9 9页页正态分布的来源：误差理论误差由许多原因引起：人为的、设备的、环境的、突发的、X1、 X2、 X3、 X4、所以总误差=中心极限定理：什么条件下的分布可以用正态分布近似 ？第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1010页页定理5.4 李雅普诺夫中心极限定理 P108设 Xn 为独立随机变量序列，数学期望为ai, 方差为 i20，则有第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1111页页注注 意意 点点当Xn 为独立同分布时， ai=， i=，则第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1212页页例 每袋茶叶的净重为随机变量，平均重量为100克， 标准差为10克。一箱内装200袋茶叶，求一箱茶叶的 净重大于20500克的概率? P112（6）解:设箱中第 i 袋茶叶的净重为 Xi, 则X1 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：= 0.0002故一箱茶叶的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1313页页例 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.X P10 9 8 7 60.8 0.1 0.05 0.02 0.03解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 相互独立同分布，且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1414页页二项分布的正态近似二项分布的正态近似定理5.5 拉普拉斯中心极限定理设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1515页页例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求 500发炮弹中命中 5 发的概率。解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则X b(500, 0.01)0.17635(2) 应用正态逼近:P(X=5) = P(4.5 X 5.5)= 0.1742第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1616页页例 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中 被盗索赔户占20%. 随机抽查100户，求被盗索赔户 不少于14户且不多于30户的概率.解: 设X 表示100户中被盗索赔户数，则X b(100, 0.2)所求 P(14X30)= 0.927第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1717页页注注 意意 点点中心极限定理的应用有三大类： ii) 已知 n 和概率，求y ；iii) 已知 y 和概率，求 n .i) 已知 n 和 y，求概率； 第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1818页页一、给定一、给定 n n 和和 y y，求概率，求概率例： P113 (13)100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一 个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第1919页页课堂练习课堂练习P113 (8)第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第2020页页二、给定二、给定 n n 和概率，求和概率，求 y y例：有200立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台 机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可有 95%的可能性保证正常生产? P113（10）解：用设供电量为y, 则Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第2121页页二、给定二、给定 n n 和概率，求和概率，求 y y例：有200立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台 机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可有 95%的可能性保证正常生产? P113（10）解 ：从中解得第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第2222页页课堂练习课堂练习P113 (12)第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第2323页页三、给定三、给定 y y 和概率，求和概率，求 n n例：用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节目的 收视率 p 的估计。 要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用 根据题意Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。又由可解得n = 271第五章第五章 中心极限定理中心极限定理华东师范大学华东师范大学* *第第2424页页习习 题题 五五第112页 7，8，9，10，11，12，13，14