工 程 随 机 过 程第四章 平衡随机过程和各态历经 过程v在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。v例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。v此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过程，因而我们在任何时间进行测试都能得到相同的结果。4.1 严平稳随机过程及其数字特征v定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程 X(t)的任意n维概密度都有 则称X(t)为严平稳随机过程。研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计 算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机 过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一 特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及 数字特征方面具有如下性质：v性质4.1 若X(t)为平衡过程，则它的一维概 率密度与时间无关证 设X(t)的一维概率密度函数为 ， 由于X(t)为平稳过程 令 则 由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值 、方差。显然，X(t)的均方值、方差都与时间t无关 。 由此知，当随机过程为平稳过程时，该过程的所有 样本函数总是它们均值水平直线上下波动，样 本曲线偏离水平直线的幅度正好是。如图4.1所示，图中细实线表示随机过程的样 本函数，粗实线表示随机过程的数学期望， 虚线表示随机过程对数学期望的偏差。v性质4.2 平稳过程X(t)的二维概率密度只 与 的时间间隔有关，而与时间起点无 关。 证：设X(t)的二维概率密度函数为 由于X(t)为平稳过程，所以对任意 有若令 ，则 而 正是随机过程二维概率密度函数的 时间间隔，令 ，则：v此式表明，平稳随机过程的二维概率密度 函数仅依赖于 ，而时间的个别值 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳 过程X(t)的自相关函数应具有什么样的表 达形式。又 顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。4.2 宽平稳随机过程v从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过 程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的功率普密度等。当在相关理论又可指研究随机过程的一、二阶矩理论。 前面已经介绍过，对于一个随机过程X(t)，我们当然希望能建立起它的多维分布函数，因为随机过程的多维分函数能较完整地描述随机过程的统计特性，但是要建立多维分布函数往往很困难，因此我们一般在相关理论范围内也就是用数字特征来描述过程的重要特性，这种用数字特征来描述过程X(t)统计特性变化规律，对很多实际问题往往已能获得很好的效果，可以提取到所需的参数。 v定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如果 常数 v且则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。显然由宽平稳定义可知，要求就要考虑X(t)的一维概率密度函数 和二维概率密度函数 。v下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间 的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它 是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有 界 ，则由严平稳 双因严平稳的一维概率密度与时间无关， 即 常数 又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔 有关，即 综上所述，严平稳一定是宽平稳 反之不一定成立，除非是高斯过程（正态过程）。 类似地，我们还可以给出两个随机过程联合宽平稳 定义。 定义联合宽平稳：对于平稳过程 若则称联合宽平稳。 顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常是 指宽平稳过程。例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过 程 的平稳性。解 Y是随机变量， 这一过程 是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何 n维概率密度函数 与时间无关， 所以是一个严平稳。 是严平稳 , 只要 则X1(t)是宽平稳。对于 v都与时间 有关，所以 为非 平稳。例4.2 设 是一周期为T的函数， 是（ 0,T）上具有均匀分布的随机变量，称为随机相位周期过程，试讨论 它的平稳性。 解 由题设知 的概率密度函数为v要讨论X(t)的平稳性，由宽平稳定义知， 需要求 。v当取定 为一随机变量 的 函数 ，由求随机变量函数的数学 期望公式知令 ，则常数 v又v令4.3 各态历经过程v1. 各态历经问题的提出对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们 的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次， 考虑求它的数字特征即数学期望、相关函数等。 但要求X(t)的数字特征，首先需要知道它的一、 二维概率密度函数，即 这实际上又很难办，进而为我们求数字特征又带 来困难。怎么解决这个问题呢？实际上，在工程 中，要求X(t)的数字特征，我们自先是通过试验 来产生一族时间样本函数 vX(t)或者是做试验产生一个样本函数x(t)，然后再 对样本函数x(t)取不同时刻，如 ，得所 对应的结果 ，即此时随机过程 可表示为 。v对任意指定时刻 的数学期望可近似表示 为自相关函数可近似表示为 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及自相关函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 v用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随 机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求 随机过程的数学特征就带来了很大方便。v这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如 x1(t)的均值呢？我们以下式来表示显然x1(t)不同其积分结果一般不同。于是对一个随机过程， ，其样 本函数的积数结果可能不同。此时显然用一个样 本函数的数字特征如 ，近似 是不正确 的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的 绝大多数样本函数的均值 都有 则我们可用其中一个样本函数的均值 作 为 X(t)的近似，即 定义随机过程的时间均值和时间相关函数：称为随机过程的时间相关函数。v注意：定义中 一般都是随机变量 （常数可看作特殊的随机变量）。v由上述分析可知，是不是任何一个随机过程 ，它的数学期望、相关函数都可用其中的一个样本函数的均值和自相关函数来近似呢，显然不一 定，一个自然的问题是X(t)在什么条件下可用一个样本函数的均值和自相关函数作为整个过程 X(t)的均值，自相关函数的近似呢？v2. 平均随机过程的各态历经性要回答上述的问题，我们设当X(t)为平稳过程且 满足一定条件时，可用一个样本函数的均值和自 相关函数作为过程X(t)的数字特征近似，为此我 们给出如下定义： 定义：设X(t)是一个平稳过程 （1）若 以概率1成立，则称随机过程X(t)均值具有各态历 经性这里依概率1成立是指对X(t)的所有样本函数 即v由此知，此时，我们可用一个样本函数的均值如 的值作为 的近似值。反之，若已知X(t)的均值各态历程，则可用一个样本函数的均值作为过程X(t)的均值。（2）若 以概率1成立，则称X(t)的自相关函数具有各态历经性。这里若X(t)的自相关函数各态历经，就是指我们可用过程X(t)的一个样本函数、xn(t)的时间相关函数即作为过程的相关函数。v（3）若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经 性，则称X(t)是宽各态历经过程，简称X(t)为各态 历经过程。v综上所述，如果X(t)是各态历经过程，则必为平 稳过程，此时可用过程的一个样本函数的数字特 征作为过程的数字特征近似。v例4.3 设随机过程式中 为参数，是（0.2, ）上均匀分 布随机变量。 求证X(t)是宽平稳过程； 该过程是否是各态历经过程。 解 X(t)为一宽平稳过程。 显然由、结果再由随机过程各态历经定义知 X(t)为宽各态历经过程。v如果两个随机过程X(t)，Y(t)，当它们各自都是各 态历经时，并且时间互相关函数与统计相关函数 以概率1相等时，我们有如下定义：v定义两个随机过程联合各态历经：设X(t)，Y(t)各自都各态历经则称X(t)，Y(t)为联合各态历经过程。同理当X(t)，Y(t)联合各态历经时，可用它们的 一对样本函数的数字特征作为X(t)，Y(t)的数字 特征近似。v3. 随机过程成为各态历经过程的判定从前面的分析知，如果一个随机过程能成为一个 平衡过程，这对我们研究各态历经，则该过程一 定是平衡过程，反之则一定成立，于是很自然提 出这样一个问题，能不能给出一些判定定理，使 其可以很方便地判定一个平稳过程成为各态历经 过程。通过对平稳过程的分析研究，我们给出如 下的几个判定定理。性质4.3 平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的 充要条件是式中： 为平稳过程的自相关函数； 为平稳 过程的数学期望。v例4.4 已知随机电报信号X(t)，它的 ， ，问X(t)是否均值各态历经 。 解 X(t)是均值各态历经的。v性质4.4 平衡过程X(t)的自相关函数具备 各态历经性的充要条件是式中平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数具有联合 各态历经性的充要条件（4.7）式相似，只 是将（4.7）式中相应的自相关函数改为互相关函数即可。v性质4.5 对于高斯平稳过程，如果它的均值为零 ，自相关函数连续，则该过程各态历经的一个充 分条件是综上所述，对一个平稳随机过程X(t)通过性质1、 2判定以后，如果X(t) 各态历经了，则对于该过 程的数字特征，即求 ，我们可用v也就是当X(t)各态历经时，我们可用一个样本函 数的时间均值和时间自相关函数作为过程X(t)的数学期望、自相关函数的近似。v最后顺便说明，对于许多实际问