第六章 弯曲变形过大的变形的危害 例2：高层建筑上部变形过大, 会使其中的居民产生不安全感。 例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。梁的强度 梁的刚度保证梁的具有足够抵抗破坏的能力保证梁不发生过大的变形切削力弯曲变形的应用 例1：叠板弹簧。 例2：弹簧扳手。重点内容介绍 如何用叠加法计算梁的变形？ 如何用积分法计算梁的变形？ 如何进行梁的刚度计算？1 梁的挠度和转角 挠曲线方程 挠曲线 转角 挠度几个重要概念挠曲线挠曲线-梁变形后的轴线，称为挠曲线 是一条位于载荷平面内的光滑连续曲线 挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量横截面的形心在垂 直于轴线（x轴） 方向的线位移，称 为挠度，用表示 横截面在xy平面的 角位移，称为转角 ，用表示 2 梁的挠曲线微分方程 梁的(近似)挠曲线二阶微分方程细长梁(l/h5)横力弯曲 近似适用纯弯曲公式小变形条件：梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？梁的挠曲线的其它形式梁的（2阶）弯矩方程梁的（3阶）剪力方程梁的（4阶）弯矩方程梁的（2阶）挠曲线方程梁的转角方程梁的挠度方程求解以上微分方程分别需要几个边界条件？梁的边界条件固定端自由端滑动固定端固定铰支座和可动铰支座自由端固定和可动铰动铰 支座=0=Q= M=0固定端=0=0Q= M=滑动动固定端= =0Q=0M=自由端= = Q=0M=0位移条件静力条件梁的连续条件相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度 与转角，即满足连续、光滑条件位移的连续条件a位移的连续条件在梁的各部分挠曲线连续，挠度连续一阶导数连续（光滑）积分法求梁的变形 对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为对此方程连续积分两次，可得利用边界条件确定上面二式中的积分常数 C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程例1 求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求 自由端B的挠度和转角。解:梁内弯矩方程: 连续积分两次得利用两个边界条件:自由端的挠度和转角最大求得c1、c2都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程:例例2 2 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCyxba解：利用平衡方程易求得两个支反力显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。分别列出AC、CB段弯矩方程并积分APBLCRAyxRB baAC段CB段边界条件：边界条件：支承条件 连续条件 光滑条件APBLCyxba利用边界条件解得最大转角，显然在支座处从AB， 中间必经过0最大挠度最大挠度当P力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时简支梁无论P作用在何处用叠加法求梁的变形在几个载荷共同作用下引起的某一力学量等于 各载荷单独作用下所引起的此量的代数和叠加原理小变性条件（几何线性） 材料遵循胡克定律（物理线性）适用条件载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。FAB Caaq例4 按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。qqPP=+AAABBBCaaqqPP=+AAABBBCaa叠加例5 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加q00.5L0.5LxdxbxfC例3 试用叠加法求图（a）所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠度由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠 曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作 量较大。可用叠加法求解。 假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对 挠度，即考虑图（b）解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（c）由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形 而移位，使C点有相应的挠度将图（b）和（c）两种情况的变形叠加后， 即可求得自由端C的挠度这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。梁的刚度条件 在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度 条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即 此两式称为梁的刚度条件。式中y、分别为构件的许可挠度和许可转角， 对不同构件有不同的要求，如：吊车梁:y=(1/4001/750)l，（l为跨长）； 机械中的一般轴，y=（0.00030.0005）l； 机械中的精密轴，y=（0.00010.0002）l；轴上齿轮，=（0.0010.002）rad（弧度）。 例例4 4 已知: q=10kN/m ，L=3m，试设计截面。AB Lqhb解：(1) 按强度条件设计最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面强度条件代入强度条件：(2) 按刚度条件设计刚度条件为代入刚度条件可得 综合考虑强度和刚度条件，可取提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施所谓提高梁的刚度，即尽量降低梁的最大挠度和转角。梁的最大挠度和转角，除与荷载大小有关外，还与Ln成正比，与EIz成反比。因此，在不改变荷载的情况下，要减小梁的变形可采用以下两方面的措施。1.改善结构形式,减小弯矩数值;2.选择合理的截面形状