一、函数的泰勒级数二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结 思考题第四节 泰勒级数与幂级数 (1)一、函数的泰勒级数图形演示 图形演示图形演示图形演示数值实验数值实验结论图形演示图形演示图形演示图形演示数值实验数值实验结论二、幂级数及其收敛性1.定义幂级数系数 2.幂级数的收敛点与收敛域因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的哪些 点使级数收敛，哪些点使级数发散？函数项级数的部分和 余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是常数项级数的收敛问题.3.和函数定义域是什么?定义域就是级数的收敛域定理2定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?收敛域是称为幂级数的收敛区间.开区间证明由比值审敛法,例1 求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散;解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为解发散收敛故收敛域为(0,1.解三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1) 加减法(其中(2) 乘法(其中柯 西 乘 积2.和函数的分析运算性质:（求和与求极限可交换次序 )（求和与求积可交换次序)（求和与求导可交换次序)幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级 数的收敛半径不变；说明：在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端 点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。 例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是例：由几何级数的收敛得到的几个结论两边求导得 两边积分得解解两边积分得显然，级数的收敛域为（1，1解收敛区间(-1,1),四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数的泰勒级数思考题思考题解答（注意下角标的灵活处理）练 习 题练习题答案一、将函数展开成泰勒级数二、小结 思考题第四节 泰勒级数与幂级数 (2)一、将函数展开成泰勒级数的方法步骤:(一) 直接法例1解（麦克劳林级数） 例2解例3解两边乘以(1+x)，合并 的系数，利用两边积分得即牛顿二项展开式 注意:双阶乘（二）间接法根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式.例如例4解例5解例6解例7解注：常用函数的麦克劳林级数二、小结函数展开成泰勒级数的方法.1.将函数展开成 的幂级数2.将函数展开成 的幂级数3.常用函数的麦克劳林级数思考题什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 的展开式的方法，称为间接展开法.练 习 题练习题答案