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3.4 3.4 概率的应用概率的应用 例1. 在英语中某些字母出现的概率远远 高于另外一些字母.在进行了更深入的研 究之后,人们还发现各个字母被使用的 频率相当稳定.例如,下面就是英文字母 使用频率的一份统计表.字母空格ETOANIRS频频率0.20.1050.0710.06440.0630.0590.0540.0530.052字母HDLCFUMPY频频率0.0470.0350.0290.0230.02210.02250.0210.01750.012字母WGBVKXJQZ频频率0.0120.0110.01050.0080.0030.0020.0010.0010.001从表中我们可以看出,空格的使用频率 最高.有鉴于此,人们在设计键盘时,空格 键不仅最大,而且放在使用方便的位置. 近年来对汉语的统计研究有了很大的发 展.关于汉字的使用频率已有初步统计资料 ,对汉语常用词也作了一些统计研究.这些 信息对汉字输入方案等的研制有很大帮助. 使用过汉字拼音输入法的同学可能有体会.如图,当输入拼音“shu”,则提示有以 下几种可供选择:1.数,2.书,3.树,4.属 ,5.署这个显示顺序基本上就是按照 拼音为“shu”的汉字出现频率从大到小排 列的. 数 1 数 2 书书 3 树树 4 属 5 署 6 输输 7 淑 8 术术 9 舒 例2. 在密码的编制和破译中,概率论起着 重要的作用.要使敌人不能破译电文而又能 使盟友容易译出电文,一直是外交官和将 军们关心的问题.为了保密,通讯双方事先 有一个秘密约定,称为密钥.发送信息方要 把发出的真实信息明文,按密钥规定 ,变成密文.接收方将密文按密钥还原成明 文. 例如,古罗马伟大的军事和政治家凯撒 大帝把明文中的每个字母按拉丁字母次序 后移三位之后的字母来代替,形成密文.接 收方收到密文后,将每个字母前移三位后 便得到明文. 这是一种原始的编制密码方 法。以传送命令:“We will start the fight at eleven O clock on Wednesday”为例,编译 这个命令得到“Zh zloo vwduw wkh iljkw dw hohyhq r forfn rq Zhgqhvgdb”。 如果初次接触,会感到莫名其妙,不知 如何是好。在书面语言中单个的字母不是以同样 的频率出现的.从例1中英文字母出现频率 的统计表中我们可以看出,在英文常用文 章中, 这种方法使用了很长一段时间后,有人 掌握了破译的方法。你知道是如何破译的 吗? 平均说来出现字母“E”的频率约为10.5%, “T”约为7.1%,而“J”的出现远小于1%. 如果掌握了这个规律,再用上面的方法 解密,通过对用密码写的密文中的字母进 行频率分析,就能比较容易地破译出密文 ,出现频率最高的字母,无论你在编译中 使用什么字母,它一般都表示“e”,出现 频率次高的字母大概是“t”,等等。 现代保密系统采用了能确保每个字母出现在 密文中的概率都相等的技术. 一种理论上不可破 译的密码是“一次性密码本”(用后立即销毁). 这种密码本是一长串的随机数,每个都在1和26 之间.这样一种密码本可能从以下数开始:19, 7,12,1,3,8,. 。如“ELEVEN”这个词,用按字母表顺序排在 E后面第19个字母表示E,而用L后面第7个字 母表示L,等等.因此,ELEVEN变成了 XSQWHV. 注意,尽管在明文中“E”出现3次, 但是在密文XSQWHV中却是用三个不同的字 母来替换的. 例3. 社会调查人员希望从人群的随机抽样调查 中得到对他们所提问题诚实的回答.但是被采访 者常常不愿意如实地作出应答.1965年Stanley L. Warner发明了一种应用概率 知识来消除这种不愿意情绪的方法. Warner的 随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个 问题中的一个,而不必告诉采访者回答的是哪 个问题. 两个问题中有一个是敏感的或者是令人 为难的;另一个问题是无关紧要的. 这样应答者 将乐意如实地回答问题,因为只有他知道自己 回答的是哪个问题.例如在调查运动员服用兴奋剂的时候 ,无关紧要的问题是“你的身份证号码的 尾数是奇数吗”,敏感的问题是“你服用过 兴奋剂吗”,然后要求被调查的运动员掷 一枚硬币.如果出现正面,就回答第一个 问题,否则回答第二个问题.假如我们把这种方法用于200个被调查的 运动员,得到54个“是”的回答.因为掷硬币出现正面的概率为 ,我们 期望大约有100人回答了第一个问题.因为 身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是 同样的,因而在回答第一个问题的100人 中大约有一半人,即50人,回答了“是”. 其余4个回答“是”的人服用过兴奋剂. 由此 我们估计这群人中大约有4%的人服用过 兴奋剂 例4. 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使 用以下的方法:先从水库中捕出一定数量 的鱼,例如2000尾,给每尾鱼作上记号, 不影响其存活,然后放回水库.经过适当的 时间,让其和水库中其余的鱼充分混合, 再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500 尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾. 试 根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.解:设水库中鱼的尾数为n,从水库中任 捕一尾,每尾鱼被捕的频率(代替概率) 为 ,第二次从水库中捕出500尾,带 有记号的鱼有40尾,则带记号的鱼被捕的 频率(代替概率)为 则解得n25000.所以水库中约有鱼25000尾 .例5.深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通 事故,该市有两家出租车公司:红色出租 车公司和蓝色出租车公司,其中蓝色出租 车公司和红色出租车公司分别占整个城市 出租车的85%和15%,据现场目击证人说 ,事故现场的出租车是红色的,对证人的 辨别能力作了测试,测得他辨认颜色的正 确率为80%,于是警察就认定红色出租车 具有较大的肇事嫌疑。 请问警察的认定对 红色出租车公平吗?试说明理由。 解:设该城市有出租车1000辆,那么依题 意可得如下信息:从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,且经确认是红色的概率为 而是蓝色的概率为 在这种情况下,以证人的证词作为推断的依据,对红色出租车显然是不公平的。例6. 在42位美国总统中,有两人的生日相同,三人卒日相同。什尔克生于1795年11月2日,哈定则生于1865年11月2日;门罗卒于1831年7月4日,而亚当斯、杰佛逊都卒于1826年7月4日。还有两位总统的死期都是3月8日:费尔莫死于1874年,塔夫脱死于1930年,这是巧合吗? 解:这是历史上有名的生日问题,记n为 相关的人数,n个人中至少有两人的生日 在同一天的概率为P(A),则有下表: 上表所列的答案足以引起多数人的惊奇, 因为“至少有两人生日相同”这件事情发生 的概率,并不是大多数人直觉想象中的那 样小,而是相当大,由表中可以看出,当人数是40时,“至少有两人生日相同”的概率为0.89,因此,在41位美国总统中,有两人生日相同,三人卒日相同,根本不是什么巧合,而是很正常的.例7某种病治愈的概率是0.3,那么,前 7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗? 如何理解治愈的概率是0.3?解:如果把治疗一个病人作为一次试验, 治愈率是0.3,随着试验次数增加,即治疗 的病人数的增加,大约有30%的人能够治 愈,对于一次试验来说,其结果是随机的 ,因此前7个病人没治愈是可能的,对后3 个人来说,其结果仍然是随机的,即有可 能治愈,也可能没有治愈。治愈的概率是0.3,是指如果患病的人有 1000人,那么我们根据治愈的频率应在治 愈的概率附近摆动这一前提,就可以认为 这1000人中,大约有300人能治愈,这个事 先估计对于医药卫生部门是很有参考价值 的。这也进一步说明了随机事件的概率只 是反映了大量重复试验条件下,随机试验 发生的频率稳定性。例8有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上。你认为这种想法正确吗?例9概率天气预报是用概率值表示预报量 出现可能性的大小,它所提供的不是某种 天气现象的“有”或“无”、某种气象要素值 的“大”或“小”,而是天气现象出现的可能 性有多大。 如对降水的预报,传统的天气 预报一般预报有雨或无雨,而概率天气预 报则给出可能出现降水的百分数,百分数 越大,出现降水的可能性越大。概率天气预报既反映了天气变化确定性 的一面,又反映了天气变化的不确定性和 不确定程度。在许多情况下,这种预报形式更能适应 经济活动和军事活动的需要。请问:你对概率天气预报,如概率降水 预报了解多少?4在一个实验中,一种血清被注射到500 只豚鼠体内,最初,这些豚鼠中150只有 圆形细胞,250只有椭圆形细胞,100只有 不规则形状细胞,被注射这种血清之后, 没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染,50 个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染,具有不 规则形状细胞的豚鼠全部被感染。根据实 验结果,估计具有下列细胞有豚鼠被这种 血清感染的概率: (1)圆形细胞;(2)椭圆形细胞;(3 )不规则形状细胞。解:(1)记“具有圆形细胞的豚鼠被感染 ”为事件A,则由题意可知,A为不可能事 件,所以P(A)=0; (2)记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染” 为事件B,则由题意,得P(B)=0.2. (3)记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感 染”为事件C,则由题意可知,C为必然事 件,所以P(C)=1.http:/www.36canyin.net http:/www.nongsalei.com http:/www.bj-yybb.com http:/www.zzghkcy.net http:/www.nsd1504.com wod42xqy道。众人:“是啊,我们都看见了”“这就是证据!”领头的士兵说道,“你还有什么好说。”“是这个奶奶碰瓷在先, 我”面对不知实情的人们,慕容凌娢不知该从何说起。“你刚刚说了碰瓷?”领头的士兵低下头小声的询问。“嗯, 怎么”慕容凌娢突然想醒悟,碰瓷一词源于清朝末年,而此时不管是人们的服饰,还是生活方式。绝不会处于清朝末 年。“你们几个,先回去复命。就说犯人已经被制服了。”此人向身后其他几个士兵命令道,“我随后就到。”“是。”其他 几个士兵训练有素的齐声回答。“小姑娘,你也是穿越过来的吧?”领头人见士兵都走了,人群散开后,才敢提起此事。“这 么说你也是了?”慕容凌娢十分兴奋。今天居然接连碰见两个和自己一样穿越过来的人,太匪夷所思了。“那你可一定要相信 我啊,那个老奶奶我根本没有撞。”“这个我当然相信,因为她跟我们是一伙的”(古风一言)江山替换人世无常,谁又可 以在这浩荡风烟中一如既往。第007章 晴穿会是什么鬼?“这个我当然相信,因为她跟我们是一伙的。”“什么?”慕容凌娢 叫了出来,不自然的后退了几步。“那那你想怎样。”“哈哈哈你还真是警惕呢。”士兵头领豪爽的大笑,丝毫不在 乎慕容凌娢惊恐不安的表情。“我叫刘钦,刚刚演碰瓷的那个是甲晓念。她和我都是晴穿会的。”“晴穿会”慕容凌娢小 声念了一遍这个古怪的名称,“感觉好像个旅行社的名字。”“等你到了那里就知道是怎么回事了。”刘钦突然一本正经起来 ,“晴穿会可比你想象的要厉害的多。”“可是刚才那个老奶奶叫什么来着是怎么回事?”慕容凌娢问道,“她既然 是晴穿会的人,为什么会上街碰瓷呢?”“哈哈哈你居然叫她奶奶,呵呵”此时他那谜一样的笑点已经让慕容凌娢彻 底迷糊了。“怎么了,我有说错吗?”慕容凌娢非要刨根问底。“甲晓念如果听见你叫她奶奶,一定会发疯的。”这样一说慕 容凌娢就更是懵逼了。“那个能不能直接说重点。”“这种碰瓷是我们两个经常用的骗人把戏,专用来坑钱。”一说到这 件事,刘钦就显得十分自豪,“至于甲晓念为什么要扮成老太太,据她自己说是为了演的更逼真一些。”“额我还有一个 问题。”这种离奇的剧情已经成功勾起了慕容凌娢的好
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