第二章 随机变量及其分布随机变量概念的引进在概率论的发展史上有着非常重大的意义。通过随机变量研究随机现象不仅能较完全地描述随机试验，而且在研究方法上可以应用微积分的许多方法和理论，使得对随机现象的研究方便得多、深刻得多。对于随机变量，重要的是弄清楚它的取值范围、取值的概率规律。本章主要研究两种最常见也是最重要的随机变量类型离散型随机变量和连续型随机变量，研究反映这两类随机变量统计特征的分布函数、分布律和分布密度。本章内容是全书的核心部分，对其中的重点内容必须熟练掌握。2.1随机变量及其分布函数在第一章中，通过随机事件来描述随机现象，随机现象的统计特性可由事件的概率来反映。事件A与它的概率P(A)之间的关系 实际上类似于一个函数的关系。如果能将事件用数来表示，就可以将对事件的概率的研究转化为对普通函数的研究。定义：随机变量设试验的样本空间为,在上定义一个单值实函数 X=X(e)，e ，对每个试验结果e，X=X(e)有确定的值与 之对应。这个单值实函数X=X(e)就称随机变量。通俗地说，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。一、随机变量 有些随机试验的结果本身就是数字，例1例2从以上例子可见：定义在样本空间上的单 值实函数X=X(e)的取值依赖于试验结果， 由于试验结果的随机性，所以X=X(e)的取 值也是随机的，称为随机变量。 有些则不是，需要将试验结果数量化。 意义：定义随机变量后，试验中的每 个事件都可以通过此变量取某个值或 在某范围内取值来表示，并使得有可能利用微积分工具研究随机试验。例3 二、分布函数用随机变量所表示的事件中，最主要的事件是 Xx（其中x为任意实数).因为其他的事件都可以 用它来表示，如所以研究事件的概率，关键是研究 事件Xx的概率PXx，将之称为随机变量X的 分布函数。等等。几何意义：表示x的取值落在无穷区间 内的概率。例6从上例可以看出，分布函数具有以下性质 1.定义：设 X为随机变量，对任意实数x，称函数 为变量X的分布函数。 几何意义？ 2.分布函数的性质 分布函数必须同时具备以上性质，否则不能作为分布函数。 例8分布函数与概率直接相关，利用以下关系，可由分布函数求下列重要事件的概率 3.概率与分布函数的关系 例9 利用这些关系，可由分 布函数求事件的概率。 2.2离散型随机变量Xx1 x2 xn Pp1 p2 pn实践中常遇到一些随机变量，其全部 可能取到的值是有限个或可列无限个 。 一、离散型r.v.及其分布律1.定义：如果随机变量X的所有可能取值为有限个x1,x2,xn 或可列无限个x1,x2, ，则称X为离散型随机变量，而称X取其每个可能值的概率，即下列一组概率为X的分布律。分布律通常以表格的形式给出。分布律通常以表格的形式给出：或Xx1 x2 Pp1 p2 分布律的性质2.分布律的性质 分布律的图形由一些离散的垂直线段表 示，每个线段的长度为相应的概率的值 。 此 关 系 应 用4.分布律与分布函数的关系 此关系应用3.分布律的图形 分布律、分布函数均与概率相 关，因此两者应该也有关系。几个重要分布二、几个重要分布介绍3个具有广泛应用的离散型分布:两点、二项、泊松分布. 1.两点分布如果随机变量X的分布律为其中00，则称X服从参数的泊松分布，记为X(). 实际背景：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事迹）称为泊松流： （1）在时间(t,t+t)内流过质点数的概率仅与t有关，与t无关； （2）不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立； （3）在充分短的一瞬间只能流过一个质点或没有质点流过，要流过2个或2个以上的 质点几乎是不可能的。 可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例132.3 连续型随机变量一、连续型r.v.，概率密度2.概率密度 定义： 设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在非 负函数f(x)，对任意x，有则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度。因F与f的连续性，导致X取个别值的概率=0由上式可得，在 f (x)的连续点， 1.连续型r.v. 随机变量的可能取值至少应充满某个 区间且其分布函数应该是连续的。 若不连续，不能作为 连续型随机变量的分 布函数，如p62例1对于任意实数x，有说明连续型随机变量X取个别值的概率为零,但X取个别值是可能的，所以，这 说明了概率为零的事件不一定为不可能事件，称其为“几乎不可能事件”。3.概率密度的性质这两条性质是判定一个函数 f(x)是否概率密度函数的充要条 件，两者缺一不可。见P63例2- 6.4.概率P与概率密度f 的关系几种常见的连续型分布二、几个常见的连续型分布 1.均匀分布(Uniform) 则称X在区间a,b上服从均匀分布，记为XUa,b 如果随机变量的概率密度为 它的实际背景是： r.v X 取值在区间(a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，与这个 小区间的位置无关。则 X 具有(a,b)上的均匀分布.均匀分布常见于下列情形：在数值计算中，由于四舍五 入，小数点 后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时， 那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。公交线路上两 辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.例指数分布2.指数分布 则称X服从参数(0)的指数分布,常记为Xe(） 如果随机变量的概率密度为 正态分布 指数分布常用于可靠性统计研究中，各种“寿命” 分布的近似，如电子元 件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服 务时间等都常假定服从指数分布.3.正态分布 如果随机变量的概率密度为： 则称X服从参数 的正态分布，记为 正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一 条关于 对称的钟形曲线.两头小，中间大，左右对称决定图图形的中心位置， 决定图图形中峰的陡峭程度.标准正态分布 特别地，对于的正态分布N(0,1)称为标准正态分布，它的概率密度记为，它的分布函数记为 ， 有正态分布表可查。其他非正态分布，可根据正态分布而得X落在区间 内的概率可由下式得： 正态分布在日常生活和研究工作的应用 实例 年降雨量问题，用上海99年年降雨 量的数据画出的频率直方图如下：从直方图，我们可以初步看出，年降 雨量近似服从正态分布。人的身高 下面是用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图 。红线是拟 合的正态 密度曲线 可见，该大学大学生的身高应 服从正态分布。其他方面的实例除了年降雨量和身高外,在正常条件下各种产 品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张 力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误 差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等 ，都服从或近似服从正态分布.一般而言，若影响某一数量指标的随机因素很多 ，而每个因素所起的作用不太大，即大量的、作 用“均匀微小”的随机因素的总效应，则这个指标 就近似地服从正态分布。一、问题的提出2.4随机变量函数的分布在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 例如，已知分子运动速度X的分布，要求其动能 的分布。一般地，设随机变量X 的分布已知，而Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.两种随机变量类型的函数分布二、离散型随机变量函数的分布例1(P74):随机变量X的分布列如下，求Y=-2X2的分布列。 解： 当 X 取值 -1，0，1,2, 5/2时，Y 取对应值 -2，0，-2,-8,-25/2X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的 事件，两者具有相同 的概率.故Y的分布为： 一般方法 一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为X 则 Y=g(X)如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.连续型r.v.函数分布 三、连续型随机变量函数的分布先从几个例子感受。Y=2X+8Y=X2可见：求Y=g(X)的分布的具体方法为：(1)首先求Y=g(X)的分布函数(故这种方法也称分布函数法)，即(2)通过解不等式(或借助于Y=g(X)的图形)找出区域y，使就是在所有的X范围里确定哪些区间的X满足Yy 。(3)利用已知的X的分布函数表达Y的分布函数。(4)将Y的分布函数对y进行求导，即得Y的概率密度。关于连续型r.v.函数分布的定理 下面给出一个定理，在满足条件时可直接用之来求随机变量函数的概率密度。若X为连续型随机变量，其概率密度为fX(x)，而Y=g(X),对下面 两种情况可直接由公式求函数Y=g(X)的分布：(1)若g(x)严格单调，其反函数g-1(y)有连续导函数，则Y=g(X) 是具有以下概率密度的连续型随机变量： 例(2)若g(x) 在不相重叠的区间I1,I2,上逐段严格单调，其反函 数分别为h1(y),h2(y),且有连续导数，那么Y=g(X)是连续型随 机变量，其概率密度为： 例结束本节前，介绍一个关于获取随机数的例子证明: 设Y的分布函数是G(y),由于0y 1, 对y1, G(y)=1;于是，对y500B=测得灯泡寿命不超5000（小时）=X5000例6(P45):若已知PX=0=0.5, PX=1=0.3, PX=2=0.2,试求X的分布函数，并作图。回看例1 单调不减， 有界， 右连续例8(P47) 设有函数试说明F(x)能否是某随机变量的分布函数。由于函数F(x)在区间 上是单调下降的，不满足分布函数性质1“单调不降”，故它不能作为分布函数。或者，由于 ，不满足分布函数性质2“ ” ，故它不能作为分布函数。 例9(P48):设F(x)为随机变量X的分布函数，其图形由下图给出。下列概率便可有分布函数求出。例5(P53): 社会上定期发行某种奖券，每券一元，某人每次买一张 奖券，如果没有中奖便继续买一张，直到中奖为止。求该人购买 奖券次数X的分布律。如果中奖率为1%,问该人购买奖券次数X不 少于多少次，能以不少于99%的概率中奖？解：(1)令Ai=第i次购买的奖券中奖，i=1,2, 随机变量X的取值为1,2,显然，意味着第1次没中奖于是，得随机变量X的分布律为：X1 2 3 iPp (1-p)p (1-p)2p (1 -p)(i-1)p(2)设该人购买奖券次数X不超n次时，就能以不少于99%的概率 中奖，依题意有：例6(P53):(续P50例1)某产品40件，其中次品3件。现从其中任取 3件，求（1）取出的3件产品中次品数X的分布律；（2）取出的 产品中至少有1件次品的概率；（3）X分布函数F(x).(1)X的可能取值为0，1，2，3.X的分布律为：(2)所求概率为 (3)由F(x)=PXx得：例7(P55)：按规定某种型号的电子管使用寿命超过5000小时为一 级品。已知某一大批产品中一级品占2%，现从中随机抽取20支检 查，试求20支电子管中恰有k(k=0,1,2,20)支为一级品的概率。定义变量X表示20支中的一级品个数，X的取值为0,1,2,20. 根据贝努利公式，显然，XB(20,0.02)可见，而二项分布有一定特点：分布律PX=x随k由 小变大，继而又由大变小，在某个k值处达到最大。例12(P58):有20台同类设备由一人负责维修，各台设备发生故障 的概率为0.01，且各台设备工作是