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第 二 讲三 反 证 法 与 放 缩 法理解教材新知把 握 热 点 考 向应用创新演练考点一考点二1不等式的证明方法反证法(1)反证法证明的定义:先假设要证明的命题不成立,然后由 出发,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行 ,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明 不成立,从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤:假设命题不成立;依据假设推理论证;推出矛盾以说明 ,从而断定原命题成立此假设正确的推理假设假设不成立2不等式的证明方法放缩法放缩法证明的定义:证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值 或 ,简化不等式,从而达到证明的目的3放缩法的理论依据主要有(1)不等式的传递性;(2)等量加不等量为 ;(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较放大缩小不等量(1)反证法适用范围:凡涉及不等式为否定性命题,唯一性、存在性命题可考虑反证法如证明中含“至多”,“至少”,“不能”等词语的不等式(2)注意事项:在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉情况,反证法体现了“正难则反”的策略,在解题时要灵活应用1实数a,b,c不全为0的等价条件为 ( )Aa,b,c均不为0Ba,b,c中至多有一个为0Ca,b,c中至少有一个为0Da,b,c中至少有一个不为0解析:“不全为0”是对“全为0”的否定,与其等价的是“至少有一个不为0”答案:D2证明:三个互不相等的正数a、b、c成等差数列,则a,b,c不可能成等比数列证明:假设a,b,c成等比数列,则b2ac.又a、b、c成等差数列abd,cbd(其中d公差)acb2(bd)(bd)b2b2d2.d20,d0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾假设不成立a、b、c不可能成等比数列3已知函数yf(x)在R上是增函数,且f(a)f(b)b.当ab时,ab则有f(a)f(b),f(a)f(b),于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾当ab时,af(b),f(b)f(a)于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾故假设不成立ab.(1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式),审慎地采取措施,进行恰当地放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法,利用放缩法证明不等式,就是采取舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的5设f(x)x2x13,a,b0,1,求证:|f(a)f(b)|ab|.证明:|f(a)f(b)|a2ab2b|(ab)(ab1)|ab|ab1|0a1,0b1 0ab2,1ab11,|ab1|1.|f(a)f(b)|ab|.点击下图进入创新演练
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