热点总结与强化训练(五)热点1 圆锥曲线的几何性质1.本热点在高考中的地位圆锥曲线的几何性质是每年高考中必考的一个知识点，这一类问题的考查大多数出现在选择、填空题中，属于中低档题.有时也会出现在解答题中，如第一问、第二问等，分值大约为48分.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度从命题方向、角度来看，可以直接考查圆锥曲线方程的有关量的范围、对称性、离心率等知识，也可以利用已知圆锥曲线的几何性质，求圆锥曲线的方程；同时也考查了学生分析问题、解决问题的能力，着重于考查学生的基本运算能力.性质中的不等关系椭圆标准方程中x，y的范围及离心率的范围，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值、最小值时，经常用到.求椭圆离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率(或离心率的范围).点P(x0,y0)和椭圆 (ab0)的关系(1)P(x0,y0)在椭圆内 1.(2)P(x0,y0)在椭圆上 =1. (3)P(x0,y0)在椭圆外 1. 平时的备考中，一定要注重圆锥曲线几何性质的复习，不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，也要掌握圆锥曲线几何性质的由来过程，掌握用代数的方法研究圆锥曲线的几何性质，掌握圆锥曲线各个性质之间的联系，在解题的过程中体会已知条件与所求结论的联系，逐步培养分析问题、解决问题的能力.1.(2012豫南模拟)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 的右焦点重合，则p的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4【解析】选D.椭圆 的右焦点为(2，0)抛物线y2=2px的焦点也为(2，0)，即 =2，p=4.2.(2011上海高考)设m是常数，若点F(0，5)是双曲线的一个焦点，则m=_.【解析】由已知条件得a2=m,b2=9，则c2=a2+b2=m+9=52=25，解得m=16.答案：163.已知F是双曲线 的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为_.【解析】设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义可知：|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,所以当满足|PF1|+|PA|最小时，|PF|+|PA|取最小值，由双曲线的图像可知，当点A，P，F1共线时，满足|PF1|+|PA|最小，而|AF1|即为|PF1|+|PA|的最小值，|AF1|=5,故所求最小值为9.答案：94.(2011江西高考)若椭圆 的焦点在x轴上，过点(1, )作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_.【解析】因为过点(1, )所作圆的一条切线为x=1，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0)，即c=1，设点P(1， ),连接OP，则OPAB，因为kOP= ，所以kAB=-2，又因为直线AB过点(1，0)，所以直线AB的方程为2x+y-2=0，因为点(0，b)在直线AB上，所以b=2，又因为c=1，所以a2=5，因此椭圆的方程为答案： 热点2 直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用1.本热点在高考中的地位直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，在每年高考试题中都会出现，有时在选择、填空题中出现，有时在解答题中出现，属中高档题,分值大约为1014分.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度考查重点一般在以下几个方面：考查直线与圆锥曲线的位置关系，求面积、最值、定值等，或是探究性问题，在能力方面，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，着重考查基本运算能力、逻辑推理能力.1.直线与椭圆位置关系的判定将直线的方程和椭圆的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用判别式的符号确定：(1)0相交(2)=0相切(3)0相离2.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法(1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，采用设而不求的方法，利用弦长公式计算弦长. (2)涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标，弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化.(3)特别注意利用公式求弦长时，是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式；判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据.直线被椭圆截得的弦长的公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则 (k为直线斜率)建议在备考过程中，解答直线与圆锥曲线综合问题时，首先要理解题意，寻找已知与所求之间的联系，进而确定正确的解题方法；在具体的运算过程中，只有真正弄懂各种运算规律，才能够准确、熟练地进行运算，特别是一元二次方程的根与系数的关系；熟悉所研究问题的思路方法，注意强化数形结合思想的应用意识.1.已知抛物线y2=4x,过焦点的弦AB被焦点分成长为m、n(mn)的两段，那么( )(A)m+n=mn (B)m-n=mn(C)m2+n2=mn (D)m2-n2=mn【解析】选A.由题意设直线AB的方程为y=k(x-1),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,mn=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=x1+x2+2=m+n.2.(2011北京高考)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【解析】选A.设C(x,y)，AB：x+y-2=0，|AB|= 点C到直线AB的距离为d= 又因为点C在y=x2上，所以 令SABC= =2,解得x=0，-1, , .所以满足条件的点有4个.3.(2011重庆高考)设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_.【解析】当圆的半径最大时，需圆与抛物线及直线x=3同时相切,设圆心坐标为(a,0)，则半径为3-a,其中0a3,圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,联立消去y得，(x-a)2+2x=(3-a)2,整理得x2+(2-2a)x+6a-9=0因为圆与抛物线相切，所以=(2-2a)2-4(6a-9)=0,解之得a=4 ，又因为0a3，所以a=4- ,半径为3-a=3-(4- )= -1.答案： -14.(2011湖南高考)如图所示，椭圆C1: (ab0)的离心率为 x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长.(1)求C1,C2的方程；(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.证明：MDME；记MAB,MDE的面积分别为S1,S2.问：是否存在直线l，使得 请说明理由.【解析】(1)由题意知 从而a=2b，又 =a，解得a=2,b=1.故C1，C2的方程分别为 (2)由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx.由 得x2-kx-1=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k,x1x2=-1.又A、B在直线上，y1=kx1,y2=kx2,又点M的坐标为(0,-1)，所以故MAMB，即MDME.设直线MA的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x-1，由 解得 或 则点A的坐标为 点M的坐标为(0,-1).又直线MB的斜率为同理可得点B的坐标为于是由 得解得 或则点D的坐标为又直线MB的斜率为同理可得点E的坐标于是因此由题意知， 解得 或又由点A，B的坐标可知，所以k= .故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y= 和y=-