莱斯利模型年龄组年龄区间10,N/n2(N/n,2N/n)3(2N/n,3N/n)n-1(n-2)N/n,(n-1)N/n)N(n-1)N/n,N)假定在总体中任意一个女性的最大年龄是N岁，这里的总体仅指女性人口总体 ，并将其当做按不同年龄分组的个体的集合。 将总体分成n个期限相等的年龄组，于是每组的期限为N/n年，按下表来记下各 个年龄组：假设已知在时刻t=0时每一个组中的女性人数，令在第i组中有 个女性，则记为 这个向量称为初始年龄分布向量。现在来考虑这n个组中每组的女性人数随时间的推移而变化的情况。设任意 两个连续的观察时间间隔和年龄区间的期限相等，即令这样，在时刻 时于第（i+1）组中的所有女性在时刻是均在第i组中。在两次连续的观察时间之间的出生和死亡过程，用下述人口学参数来描述： 表示每一个女性在第i年龄组期间生育儿女的平均数。 表示第i年龄组的女性可望活到第（i+1）年龄组的分数。 显然 不允许任何bi等于0， 否则就没有一个没有女性会活到超过第i年龄组。 同样，至少有一个 是正的，这样就保证有n个女儿出生了。与正的 对应的年龄组称为生育年龄组。 记 是在时刻个 年龄组中的女性数目，则称为在时刻 时年龄分布向量。在时刻 ，第一个年龄组中的女性数恰 好就是在 和 之间出生的女孩数，即 （5.1） （5.2） 将（5.1）式和（5.2）用矩阵表示即得（5.3） 简记为（5.4） 其中称为莱斯利矩阵。由（5.4）式可得（5.5）因此，如果已知初始年林分布 及莱斯利矩阵L，就能求出在以后任何时 间的女性年龄分布。 极限状态（5.5）式给出了总日在任意时间的年龄分布，但是它并不能直接反映增长过 程动态的情况。 为此我们需要考虑莱斯利矩阵L的特征值和特征向量，L的特征根是它的特 征多项式的根，这个特征多项式为为了求这个多项式的根，引入函数 （5.6） 利用这个个函数，特征多项式 可写为 （5.7） 由于所有的 和 为非负的，可以看作 对于大于零是单调 减少的。 另外， 在 处有一条垂直渐近线，而当趋于无穷大时则趋于 零。因此 ，存在唯一的一个 ，使得 。即矩阵L有一个 唯一的正特征值， 是单根，对于 的一个特征向量是满足： 的非零向量。 解得 （5.8） 由于 是单根，它相应的特征空间是一维的，因而任意它所对应的特 征向量 是某个倍数，则有定理定理1 一个莱斯利矩阵L有一个唯一的正特征值 ，并且有一个所有元 素均为正的特征向量。 总体年龄分布的长期行为是由正的特征值 及它的特征向量 来决定 的。实际应用中，由数学软件很容易求出矩阵的特征值与特征向量，请 读者参阅第四章相关内容。 定理2 如果 为莱斯利矩阵L的唯一的正特征值， 是L的特征值，它 可以是任意实数或复数，则 。 称为L的主特征值。如果对L的所有其他特征值有 ，那么 称为L的严格主特征值。并不是所有的莱斯利矩阵都满足这个条件，例如 请读者利用数学软件验证L的 唯一正特征值不是严格主特征 值，并且有 （单位矩 阵）。 于是对于任意选择初始年龄分布 ，都有 因此年龄分布向量以三个时间单位为周期而摆动，如果 是严格主 特征值，这种摆动（也称人口波）就可能不会发生。 下面价格叙述关于 是严格主特征值的必要和充分条件。 定理3 如果莱斯利矩阵的第一行有两个连续的元素 和 不 等于零，则L的正特征值就是严格主特征值。 因此，如果女性总体有两个相继的生育年龄组，它的莱斯利矩阵就是一 个严格主特征值。只要年龄组的期限足够小，现实中的总体总是这中情 况。假设L是可对角化的，此时L有n 个特征值 与它们相对应的n 个线性无关的特征向量为 。将其中严格主特征值排在第一 ，建立一个矩阵P，其余个列就是L的特征向量。 于是L的对角化就由下式给出 则因此，对于任意初始年龄分布向量 就有此等式两边除以 ，就得出（5.9） 由于 是严格主特征值，所以 当 时 这样就得到（5.10）如果将列向量 的第一个元素用常熟C来表示，则可以证明（5.10 ）式右端为 ，C是一个只与初始年龄分布向量 有关的正常数， 于是得到 （5.11） 对于足够大的k值，由（5.11）式给出近似式 （5.12） 由（5.12）式还可得出（5.13） 比较（5.12）和（5.13）式可知对于足够大的k值，有（5.14） 这说明对于足够大的时间值，每个年龄分布向量是前一个年龄分 布向量的一个数量倍数，这个数量就是矩阵的正特征值。因此， 在每一个年龄组中的女性比例据变为常量。 由给出常时期人口的年龄分布向量（5.12）式根据正特征值 的数值，会有三种情况： ）如果 ，总体最终是增长的；）如果 ，总体整体是减少的；）如果 ，总体整体是不变的。的情形有特殊意义，因为它决定了一个具有零增长的总体 。对于任何初始年龄分布，总体趋于一个是特征向量的某个倍数由（5.6）和（5.7）式可看出，当且仅当 （5.15）时才有 。表达式（5.16） 称为总体的净繁殖率。因此，总体的净繁殖率为1时，一个总体有 零总体增长。