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120172017 高考数学一轮复习高考数学一轮复习 第八章第八章 立体几何立体几何 8.28.2 空间点、线、面的空间点、线、面的位置关系课时练位置关系课时练 理理时间:45 分钟基础组1.2016衡水中学期末设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中,其逆命题不成立的是( )A当c时,若c,则B当b时,若b,则C当b,且c是a在内的射影时,若bc,则abD当b,且c时,若c,则bc答案 B解析 A 的逆命题为:当c时,若,则c,由线面垂直的性质知c;B 的逆命题为:当b时,若,则b,显然错误;C 的逆命题为:当b,且c是a在内的射影时,若ab,则bc,由三垂线的逆定理知bc;D 的逆命题为:当b,且c时,若bc,则c,由线面平行的判定定理可得c.故选 B.22016衡水二中热身对于空间的两条直线m,n和一个平面,下列命题中的真命题是( )A若m,n,则mn B若m,n,则mnC若m,n,则mn D若m,n,则mn答案 D解析 对 A,直线m,n可能平行、异面或相交,故 A 错误;对 B,直线m与n可能平行,也可能异面,故 B 错误;对 C,m与n垂直而非平行,故 C 错误;对 D,垂直于同一平面的两直线平行,故 D 正确32016武邑中学期末已知直线a和平面,l,a,a,且a在,内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面答案 D解析 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,故选 D.42016衡水二中预测已知a,b,c为三条不同的直线,且a平面M,b平面N,MNc.若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;若ab,则必有ac;若ab,ac,则必有MN.其中正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3答案 C解析 命题正确,命题错误其中命题中a和b有可能垂直;命题中当2bc时,平面M,N有可能不垂直,故选 C.5. 2016枣强中学月考已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,E是AA1的中点,则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为( )A. B.1 53 1010C. D.10103 5答案 B解析 如图,连接A1B.由题意知A1D1綊BC,所以四边形A1D1CB为平行四边形,故D1CA1B.所以A1BE为异面直线D1C与BE所成的角不妨设AA12AB2,则A1E1,BE,A1B,在A1BE中,25cosA1BEA1B2EB2A1E2 2A1BEB,故选 B.5212 5 23 10106. 2016衡水二中猜题设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交, 则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)答案 解析 由公理 4 知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内” ,故错72016衡水二中一轮检测如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,AA12,ACBC1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_3答案 66解析 由于ACA1C1,所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角在BA1C1中,A1B,A1C11,BC1,cosBA1C1.656152 6 16682016冀州中学周测如图所示,在四面体ABCD中,E、F分别是AC、BD的中点,若CD2AB2,EFAB,则EF与CD所成的角等于_答案 30解析 如图所示,设H为DA的中点,连接HF,HE,则易得FHEF.在 RtEFH中,HE1,HF ,1 2HEF30,即EF与CD所成的角为 30.92016冀州中学热身如图所示,正方形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,将此正方形沿EF折成直二面角后,异面直线AF与BE所成角的余弦值为_4答案 1 2解析 过F点作HFBE,过A点作EF的垂线AG,垂足为G.连接HG,HE,AH.如图,设正方形ABCD的边长为 2,平面AEF平面BCDFE,且AGEF,AG平面BCDFE.BEBHAEAF1,EHEF.G为EF的中点,EG,AG.又22222HF2,HEG90,在 RtEHG中,HG.(22)2 22102在 RtAGH中,AH.(102)2(22)23HFBE,AF与BE所成的角即为AFH.在AHF中,AF1,HF2,AH,HAF90,3cosAFH .AF HF1 2102016枣强中学周测如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_5答案 90解析 连接D1M,则D1M为A1M在平面DCC1D1上的射影,在正方形DCC1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,D1MDN,由三垂线定理得A1MDN.即异面直线A1M与DN所成的角为 90.112016冀州中学预测在三棱锥SACB中,SABSACACB90,AC2,BC,SB,则SC与AB所成角的余弦值为_1329答案 1717解析 解法一:如图,取BC的中点E,分别在平面ABC内作DEAB,在平面SBC内作EFSC,则异面直线SC与AB所成的角为FED,过F作FGAB,连接DG,则DFG为直角三角形由题知AC2,BC,SB,可得DE,EF2,DF ,在DEF中,由余13291725 2弦定理可得 cosDEF.DE2EF2DF2 2DEEF17176解法二:如图,以A为原点,以AB,AS所在直线分别为y,z轴,以垂直于y轴、z轴的直线为x轴,建立空间直角坐标系,则由AC2,BC,SB,得B(0,0),132917S(0,0,2),C,3(213 17,417,0),(0,0),设SC与AB所成的角为SC(213 17,417,2 3)AB17,4,|4,SCABSCAB17cos.|SCAB|SC|AB|1717122016衡水二中期中如图所示,在四棱锥PABCD中,底面是边长为 2 的菱形,DAB60,对角线AC与BD交于点O,PO平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为 60.(1)求四棱锥的体积;(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值解 (1)在四棱锥PABCD中,PO平面ABCD,PBO是PB与平面ABCD所成的角,即PBO60.在 RtAOB中,AB2,BOABsin301.在 RtPOB中,POOB,POBOtan60,3底面菱形的面积S2 222,1 2323四棱锥PABCD的体积VPABCD 22.1 3337(2)如图所示,取AB的中点F,连接EF,DF.E为PB中点,EFPA,DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在 RtAOB中,AOABcos30OP,3在 RtPOA中,PA,EF.662在正三角形ABD和正三角形PDB中,DFDE,由余弦定理得 cosDEF3DE2EF2DF2 2DEEF. 32(62)2 322 3 626 43 224异面直线DE与PA所成角的余弦值为.24能力组13.2016枣强中学模拟已知m、n为异面直线,m平面,n平面,l,则l( )A与m、n都相交B与m、n至少一条相交C与m、n都不相交D至多与m、n中的一条相交答案 B解析 若l与m、n都不相交,则lm,ln.mn与已知矛盾,故 C、D 不正确A 中与m、n都相交,也不一定,如lm,n与l相交于一点142016衡水二中期末直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A30 B45C60 D90答案 C8解析 分别取AB,AA1,A1C1的中点D,E,F,则BA1DE,AC1EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其补角),设ABACAA12,则DEEF,DF,26由余弦定理得,cosDEF ,DE2EF2DF2 2DEEF1 2则DEF120,从而异面直线BA1与AC1所成的角为 60.152016武邑中学猜题如图是三棱锥DABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )A. B.331 2C. D.322答案 A9解析 由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段,AB,AC,AD两两垂直且ABAC2,AD1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE1,又可知AE1,由于OEAB,故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角在 RtDAE中,DE,由于O是中点,在 RtABC中可以求得AO,22在直角三角形DAO中可以求得DO.在DOE中,由余弦定理得 cosDOE3,故所求余弦值为.1322 1 33333162016冀州中学仿真如图所示,三棱锥PABC中,PA平面ABC,BAC60,PAABAC2,E是PC的中点(1)求证:AE与PB是异面直线;求异面直线AE和PB所成角的余弦值;(2)求三棱锥AEBC的体积解 (1)证明:假设AE与PB共面,设平面为,A,B,E,平面即为平面ABE,P平面ABE,这与P平面ABE矛盾,10所以AE与PB是异面直线取BC的中点F,连接EF、AF,则EFPB,所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角BAC60,PAABAC2,PA平面ABC,AF,AE,EF,322cosAEF ,2232 2 21 4所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为 .1 4(2)因为E是PC中点,所以E到平面ABC的距离为PA1,1 2VAEBCVEABC 1.1 3(1 2 2 2 32)33
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