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1/16 方程求根方法 函数求极值方法 线性规划问题及求解 思考题与练习题方程求根与最优化实验2/16例6.1求解 3 次方程 x3 + 1 = 0 。 求多项式根(零点)方法: R= roots(P)P是多项式 P(x) = a1xn + a2 xn-1 + + an x + an+1系数a1,a2,an+1,R为多项式全部零点。 求数值解 P=1,0,0,1; R=roots(P)R =-1.0000 0.5000 + 0.8660i0.5000 - 0.8660i求符号解 sym x; solve(x3+1=0)ans = -1 1/2-1/2*i*3(1/2) 1/2+1/2*i*3(1/2)3/16多项式求根方法 p=1 -30 0 2552; roots(p)ans = 26.314611.8615-8.1761rx例6.3 球体的吃水深度. 计算半径 r =10 cm的球体,密度 =0.638.浸入水深度 x = ?解:重量体积 x3 30x2 +2552 =0求函数零点方法 fun=inline(x.3-30*x.2+2552); x=fzero(fun,10)x = 11.86154/16例6.6 还贷问题。从银行贷款100万元建生产流水线,一 年后建成投产。投产后流水线每年创造利润30万元,银 行的年利率 p=10%,计算多少年后公司可以盈利? function pay=debt(p,S) if nargin=0,p=0.1;S=100;end pay=S;k=1; S=S*(1+p); pay=pay,S; while S0k=k+1;S=S*(1+p);S=S-30;pay=pay,S; end调用 debtans =100.0000 110.0000 91.0000 70.1000 47.1100 21.8210 -5.9969第六年盈利 5.9969 万5/16求一元函数最小值方法 Xmin=fminbnd(fun,x1,x2)fun是目标函数,x1,x2是最小值点搜索区间,Xmin 是目标函数的最小值点。例6.7求一元函数f(x) = 0.5 x exp( x2)在区间0,2 内的最小值,并绘出函数图形标出最小值点。 fun=inline(0.5-x.*exp(-x.2); fplot(fun,0,2),hold on x0,y0=fminbnd(fun,0,2) plot(x0,y0,o) x0 = 0.7071y0 = 0.0711 6/16温室例6.9 花园靠楼房处有一温室,温室伸入花园 2 米,高3 米.温室上方是楼房窗台,要将梯子从花园地上放靠在 楼房墙上不损坏温室,用 7 米长的梯子是否可行? 解:设梯子长度为L, 梯子与地面的夹角为 数学模型:L=inline(2./cos(alpha)+3./sin(alpha) x,Lmin=fminbnd(L,0.8,0.9)x = 0.8528Lmin = 7.0235 梯子长度基本可行。7/16最优化方法从可行方案中寻求最优方案 在一些限制条件下,针对系统的某一指标寻找最优方 案。可表示为求某一函数在约束条件下的极大值(或 极小值)问题。线性规划的数学模型决策变量: X = x1, x2, , xn T目标函数系数: C=c1, c2, , cnT不等式约束矩阵和向量: A, b8/16例6.13 建筑公司承建办公楼和住宅楼。建办公楼将获 利润500元/平方米,建住宅楼获利润600元/平方米。 总建筑面积不少于5000m2,办公楼的面积不能大于 5000 m2,住宅楼不能大于3000m2。假定公司当年建办公楼x1平方米,建住宅楼x2平方米 。以所得利润最大为目标,得目标函数z = 500x1 + 600x2根据招标单位的要求,约束条件x1+x2 5000 x1 5000 x2 3000x1 0, x2 09/16求解线性规划命令使用格式(1) x=linprog(C, A, b)x,fval = linprog(C, A, b)(2) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq)(3) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,e0,e1)MATLAB中线性规划问题标准形式C目标函数系数向量 A约束条件系数矩阵 b约束条件常数向量10/16解线性规划问题标准形式min -( 500x1+ 600x2) s. t. -x1-x2-5000x1 5000x23000x10, x20C = 50 60 C=500,600; A=-1,-1;1,0;0,1; b=-5000;5000;3000; x=linprog(-C,A,b) z=C*xx = 50003000z= 4300000程序:结果:11/16一组决策变量(x1, x2, , xn)表示某套方案 ; 一组线性不等式或线性等式为约束条件; 以决策变量的线性函数作为目标函数. 明确问题的目标假设一组决策变量考虑目标函数考虑约束条件建立线性规划问题数学模型:12/16例6.15某工厂制造A、B两种产品,A每吨用煤9吨,电4 千瓦,3个工作日;制造B每吨用煤5吨,电5千瓦,10个 工作日。制造A和B每吨分别获利7000元和12000元,该 厂可利用资源有煤360吨,电力200千瓦,工作日300个 。问A、B各生产多少吨获利最大。 AB上限煤(吨)95360电(千瓦)45200工作日(天)310300利润(千元)712数据列表分析13/16数学模型:设生产A产品数量x1,B产品数量x2。约束条件 9x1+5x2360 4x1+5x2200 3x1+10x2300 x10,x20记 C = 7, 12 c=7 12; A=9 5;4 5;3 10; b=360;200;300; x=linprog (-c,A,b) z=c*xx = 20 24 z = 428.00计划A产品生产20吨,B产品 生产24吨.利润:428千元 14/16c=-7, -12; A=9 5; 4 5; 3 10; b=360;200;300; Aeq=;beq=; e0=0,0;e1=inf,inf; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,e0,e1)Optimization terminated successfully. x =20.000024.0000 fval= -428完整的线性规划高级程序:结果:15/16思考题与练习题1. 对“梯子问题”中的数学模型2. 用MATLAB命令fminbnd()求一元函数极大值问题 的过程有哪些操作步?3. 线性规划问题中的约束条件分为几类?4. MATLAB求线性规划命令linpro()需要哪些输入参 数,其中输入参数的前后次序是如何规定的用均值不等式做分析,其结论是否与实验结论一致?16/165 某厂生产两种产品,产一吨甲产品用A资源 3吨、 B资 源 4m3;产一吨乙产品用A资源 2吨, B资源 6m3, C资源7个单位.一吨甲产品和乙产品分别价值7万元和5万元, 三种资源分别限制为90吨、200m3和210个单位.建立描 述生产两种产品使总价值最高的线性规划数学模型?
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