2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定直线与平面、平面与平面平行的判定定理1.直线与平面平行的判定定理文字语语言_一条直线线与_的一条直线线_,则该则该 直线线与此平面平行符号语语言_a图图形语语言平面外此平面内平行a,b,且ab2.平面与平面平行的判定定理文字语语言一个平面内的_与另一个平面平行,则这则这 两个平面平行.符号语语言_图图形语语言两条相交直线线a,b,ab=P,a,b判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)若平面内有无数条直线与平面平行,则平面与平面平行. ( )(2)若a,b相交,a,则b. ( )(3)若,a,则a. ( )提示:(1)错误.两个平面的位置关系可能相交,也可能平行.(2)错误.b或b与相交.(3)正确.,则与无公共点,因为a ,所以a与无公共点,所以a.答案:(1) (2) (3)【知识点拨】1.对直线与平面平行的判定定理的三点说明(1)具备三个条件判定直线a和平面平行时,必须具备三个条件直线a在平面外,即a ;直线b在平面内,即b ;两直线a,b平行,即ab.这三个条件缺一不可.(2)体现了转化思想此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行.(3)此定理可简记为:线线平行 线面平行.2.对平面与平面平行的判定定理的三点说明(1)具备两个条件判定平面与平面平行时,必须具备两个条件平面内两条相交直线a,b,即a ,b ,ab=P;两条相交直线a,b都与平面平行,即a,b.(2)体现了转化思想此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.(3)此定理可简记为:线面平行 面面平行.类型 一 直线与平面平行的判定【典型例题】1.下列说法中正确的个数是 ( )若b,ab,则a;若c,ac,则a;若b,A,Ba,C,Db,且AC=BD,则a;若a,b,ab,则a.A.1 B.2 C.3 D.42.(2013长春高一检测)如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且求证：MN平面SBC.【解题探究】1.直线与平面平行的定义是什么？在应用直线与平面平行的判定定理时，容易忽视哪个条件？2.用判定定理证明直线与平面平行时，关键是什么?是否可以利用比例式推出直线与直线平行？探究提示：1.(1)若直线与平面无公共点，则直线与平面平行.(2)在应用直线与平面平行的判定定理时，容易忽视说明已知直线不在平面内.2.(1)用判定定理证明直线与平面平行时，关键是在平面内找到(或作出)一条直线与已知直线平行.(2)可以.如果一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边.【解析】1.选A.错误，若b ，ab，则a或a ；错误，c，ac，则a或a ；错误，若b ，A,Ba，C,Db，且AC=BD,则a或a 或a与相交；正确，是直线与平面平行的判定定理.2.连接AN并延长交BC于P，连接SP,因为ADBC，所以又因为所以 所以MNSP.又MN 平面SBC，SP 平面SBC，所以MN平面SBC.【互动动探究】题题2中,若M,N分别别是SA,BD的中点,试证试证 明:MN平面SBC.【证明】如图,连接AC,由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N,在SAC中,M,N分别为SA,AC的中点,所以MNSC.又因为SC 平面SBC,MN 平面SBC,所以MN平面SBC.【拓展提升】1.判定直线与平面平行的两类方法(1)定义法用反证法说明直线与平面没有公共点;若两个平面平行,则一个平面的任意一条直线都与另一个平面无公共点,由此可得线面平行.(2)定理法设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,注意说明已知直线不在平面内.2.证明直线与直线平行的常用方法(1)平行四边形的对边平行.(2)三角形(梯形)中位线定理(3)同时和第三条直线平行的两条直线平行(公理4).(4)在同一平面内,和同一条直线垂直的两条直线平行.(5)如果一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三条边.(6)在同一平面内,两条直线被第三条直线所截,同位角相等(内错角相等、同旁内角互补),两直线平行.【变变式训练训练 】如图图,长长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为线别为线段AB,CD,C1D1的中点.求证证:C1M平面ANPA1.【证明】连接AP,因为CC1D1D是平行四边形,所以C1D1CD,C1D1=CD.因为N,P分别为线段CD,C1D1的中点,所以C1PCN,C1P=CN.因为ABCD是平行四边形,所以ABCD,AB=CD.因为M,N分别为线段AB,CD的中点,所以CNAM,CN=AM,所以C1PAM,C1P=AM,所以AMC1P是平行四边形,所以C1MAP.又C1M 平面ANPA1,AP 平面ANPA1,所以C1M平面ANPA1.类型 二 平面与平面平行的判定【典型例题】1.下列说法中正确的是 ( )一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.A. B.C. D.2.(2013肇庆庆高一检测检测 )已知P是ABCD所在平面外一点.E,F,G分别别是PB,AB,BC的中点.证证明:平面PAC平面EFG.【解题探究】1.平面与平面平行的定义是什么?在应用平面与平面平行的判定定理时,容易忽视哪个条件?2.用判定定理证明平面与平面平行时,关键是什么?探究提示:1.(1)若平面与平面无公共点,则平面与平面平行.(2)在应用平面与平面平行的判定定理时,容易忽视说明两条直线相交.2.用判定定理证明平面与平面平行时,关键是在一个平面内找到(或作出)两条相交直线与另一个平面平行.【解析】1.选D.对于:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,如果这两条直线不相交,而是平行,那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在.对于:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,同.对于:一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义.对于:一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理.所以只有正确,选择D.2.因为EF是PAB的中位线,所以EFPA.又EF 平面PAC,PA 平面PAC,所以EF平面PAC.同理得EG平面PAC.又EF 平面EFG,EG 平面EFG,EFEG=E,所以平面PAC平面EFG.【拓展提升】判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法:证明两个平面没有公共点,通常采用反证法.(2)利用判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.(3)转化为线线平行:平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行,则.(4)利用平行平面的传递性:若,则.【变变式训练训练 】(2013深圳高一检测检测 )如图图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为别为 棱AA1,CC1的中点,O是AC,BD的交点.(1)证证明:B1D1OF.(2)证证明:平面EB1D1平面BDF.【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以DF=BF,O是BD的中点,所以OFBD.又因为BB1DD1,BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1BD,所以B1D1OF.(2)由(1)知B1D1BD,而B1D1 平面EB1D1,BD 平面EB1D1,所以BD平面EB1D1.取DD1中点G,连接FG,AG,所以FGAB且GF=AB,所以ABFG是平行四边形,所以AGBF.又因为AEGD1且AE=GD1,所以EAGD1是平行四边形,所以AGED1,所以ED1BF,而ED1 平面EB1D1,BF 平面EB1D1,所以BF平面EB1D1.又BFBD=B,BD,BF 平面BDF,所以平面EB1D1平面BDF.类型 三 探索性问题【典型例题】1.如图图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别别是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边边形EFGH边边上及其内部运动动,则则M只需满满足 ,就有MN平面B1BDD1.2.如图图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F平面A1BE?证证明你的结论结论 .【解题探究】1.根据直线与平面平行和平面与平面平行的定义,是否可以由面面平行推出线面平行?由此进一步思考题1中直线MN应该具备什么条件?2.如何画出题2中平面A1BE与平面ABCD的交线?B1F是否可以与此交线平行?探究提示:1.(1)事实上,若两个平面平行,则一个平面的任意一条直线都与另一个平面平行.(2)直线MN应该在与平面B1BDD1平行的平面内.2.(1)根据公理2,过点E作直线A1B的平行线,找到平面A1BE与平面ABCD的公共点.(2)B1F可以与此交线平行.【解析】1.点M在FH上.理由:连接FH,FN,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,且F,H分别为线段C1D1,CD的中点,所以FHBB1,又FH 平面B1BDD1,BB1 平面B1BDD1.所以FH平面B1BDD1,因为HN是BCD的中位线,所以HNBD,又HN 平面B1BDD1,BD 平面B1BDD1.所以HN平面B1BDD1,又FHHN=H,FH,HN 平面FHN,所以平面FHN平面B1BDD1,又平面FHN平面EFGH=FH,所以当MFH时,MN 平面FHN,所以MN平面B1BDD1.答案:点M在FH上2.存在.当点F是棱C1D1的中点时,B1F平面A1BE.理由如下:如图所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接B1F,EG,BG,CD1,FG.因为A1D1B1C1BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以D1CA1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EGD1C,从而EGA1B.这说明A1,B,G,E共面.所以BG 平面A1BE.因为C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FGC1CB1B,且FG=C1C=B1B,所以B1BGF是平行四边形,所以B1FBG,又因为B1F 平面A1BE,BG 平面A1BE,所以B1F平面A1BE.【拓展提升】对于探索型问题的认识探索型问题是具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,需要自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括得出结论.常见的有以下两类:(1)条件探索型:条件探索型问题是针对一个结论,条件未知需探索,或条件增删需确定,或条件正误需判断.(2)结论探索型:结论探索型是先探索结论然后再去证明,在探索过