美 丽 的 校 园10.4 二 项 式 定 理二项式系数的性质121 1 11 11 1 111 1332446 5510 10复习回顾:二项式定理及展开式:nn nrrnr nn nn nn nnbaCbaCbaCbaCbaCba022211100+=+-LL）（二项式系数通 项13(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二项式系数的性质二项式系数表111211331146411510 10511615 20 1561详解九章算法记载的表杨辉 三角杨辉以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章 算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在详解九章算法 一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 ，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公 元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲 ，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把 这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年 左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。a).表中每行两端都是1。b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：cr ncr-1 n+crn+1=当n不大时，可用该表来求二项式系数。C2 3C2 2C1 2+= 3 C2 5C2 4C1 4+= 10因为：二项式系数的性质111211331146411510105116152015612134610第1行第2行第6行-第5行-第4行第3行-111211331146411510 10511615 20 1561二项式系数的性质先增后减对称函数定义：如果A、B都是非空数集，那A 到B的映射f ：AB就叫做A到B的函数。可看成是集合0，1，n 到二项式系数的集合的映射。 对于二项式系数，r与 之间也有对应关 系，即： r 0 1 2 r n二项式系数与函数从映射、函数的观点看，二项式系数可 以看作是一个定义域为 0，1，2， n的函数当自变量从小到大依次取值时对 应的一列函数值。 即：r是自变量，r自变量二项式系数是函数值， 组合数公式就是相应函数的解析式。123二项式函数值二项式系数与函数当n=6时，二项式系数 （0r6）用图象表示：7个孤立的点13n12322nOrf ( r )6361420 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等1：对称性2：增减性与最大值先增后减关于r= 3对称r=3时取得最大值f（r） n为奇数； 如n=7f（r）rnO6152013n为偶数； 如n=620103035O n743关于r=n/2对称r=3和r=4时取得最大值二项式系数的性质二项式系数的性质与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性性质2：增减性与最大值先增后减 u当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数 取得 最大值 ； u当n是奇数时，中间的两项 二项式系数 和 相等，且 同时取得最大值。 即即和当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得 最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1) k (k-1) =Ck-1nkn k + 1 Ck-1nkn k + 1Ckn所以相对于的增减情况由决定由于kn k + 11kn + 1 2 因而2.增减性与最大值性质3：各二项式系数的和二项式系数的性质2n+ + + +令x=1；赋值法令x=-1；0+0 nCC2n-+1 nC3 nC)()0 = +0 nCC2n+1 nC3 nC = 也就是说, (1+x)n的展开式中的各个 二项式系数的和为 ，且奇数项的二 项式系数和等于偶数的二项式系数和2n1、在(ab)20展开式中，与第五项二项式系数相同 的项是( ).C课堂练习 :A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项C A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项2、在(ab)11展开式中，二项式系数最大的项( ).4，化简 + + + +=3， 已知 展开式中只有第10项二项式系数最大，则n=_。 18例1、证明 的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和。ban)( +证明：1a10-CCn+rnan1-bban+=bCCnnrnr nnban)( +在展开式中 1+=1n)( -Cnnn)(-10 nC1 nCC2n3 nC-+b = -1，令a = 1，则得+0 nCC2n-+1 nC3 nC)()0 = +0 nCC2n+1 nC3 nC = 就是即在ban)( +的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项系数的和。证毕。上述证明过程中用到了什么方法？赋值法例题讲解变式练习： +7210)(+=-72721xaxaxaax已知 则=+6420aaaa71a=+2aa7=+531aaaa简解:令x=1,则则令x= -1,7a+5a6a102+aaa+=+3a4a(=)-7211-17a=a1a0+a2+-+5a3a6a4a-)+(7211 =3712 1由 得71a=+2aa-212-)(2由 得12+)(2由 得-2 -1094 10937=+531aaaa-1094=+6420aaaa1093( x=0 时,a0=1 )123n123求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取1，1，0。小结:（2） 数学思想：函数思想 a 图象、图表；b 单调性； c 最值。（3） 数学方法 ： 赋值法 （1）二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和作业：习题10.4 9,10。123n123