第4节 系统聚类分析 聚类要素的数据处理距离的计算直接聚类法 最短距离聚类法 最远距离聚类法系统聚类法计算类之间距离的统一公式 系统聚类分析实例 一、聚类要素的数据处理 在聚类分析中，聚类要素的选择是十分重 要的，它直接影响分类结果的准确性和可靠性 。在地理分类和分区研究中，被聚类的对象 常常是多个要素构成的。不同要素的数据往往 具有不同的单位和量纲，其数值的变异可能是 很大的，这就会对分类结果产生影响。因此当 分类要素的对象确定之后，在进行聚类分析之 前，首先要对聚类要素进行数据处理。 假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象 都有n个要素构成。它们所对应的要素数据可 用表3.4.1给出。 表3.4.1 聚类对象与要素数据 在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有如下几种: 总和标准化。分别求出各聚类要素所 对应的数据的总和，以各要素的数据除以该要 素的数据的总和，即 这种标准化方法所得到的新数据满足（3.4.1） 标准差标准化，即由这种标准化方法所得到的新数据，各要 素的平均值为0，标准差为1，即有（3.4.2） 极大值标准化，即经过这种标准化所得的新数据，各要素的 极大值为1，其余各数值小于1。 极差的标准化，即 经过这种标准化所得的新数据，各要素的 极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1 之间。 （3.4.3）（3.4.4）例题:表3.4.2给出了某地区9个农业区的7项 指标，它们经过极差标准化处理后，如表 3.4.3所示。 表3.4.2 某地区9个农业区的7项经济指标数据 区 代 号人均 耕地X1/（hm2人-1）劳均 耕地X2/（hm2个-1 ）水田 比重 X3 /%复种 指数x4 /%粮食 单产 x5/（kghm -2）人均粮食x6/（kg人-1 ）稻谷 占粮 食比 重 x7/% G10.2941.0935.63113.64 510.51 036.412.2G20.3150.9710.3995.12 773.5683.70.85G30.1230.3165.28148.56 934.5611.16.49G40.1790.5270.391114 458632.60.92 G50.0810.21272.04217.812 249791.180.38 G60.0820.21143.78179.68 973636.548.17 G70.0750.18165.15194.710 689634.380.17 G80.2930.6665.3594.93 679.5771.77.8G90.1670.4142.994.84 231.5574.61.17表3.4.3 极差标准化处理后的数据x1x2x3x4X5X6X7G10.911.000.070.150.181.000.14G21.000.870.000.000.000.240.00G30.200.150.070.440.440.080.07G40.440.380.000.130.180.130.00G50.030.031.001.001.000.451.00G60.030.030.610.690.650.130.59G70.000.000.900.810.840.131.00G80.910.530.070.000.100.430.09G90.380.260.040.000.150.000.00二、距离的计算 常见的距离有 绝对值距离 欧氏距离 明科夫斯基距离 （3.4.5） （3.4.6） （3.4.7） 切比雪夫距离。当明科夫斯基距 时，有 据表3.4.3中的数据，用公式（3.4.5）式计 算可得9个农业区之间的绝对值距离矩阵如下 （3.4.8） （3.4.9） 三、直接聚类法 原理先把各个分类对象单独视为一类，然后根 据距离最小的原则，依次选出一对分类对象， 并成新类。如果其中一个分类对象已归于一类 ，则把另一个也归入该类；如果一对分类对象 正好属于已归的两类，则把这两类并为一类。 每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相 同的行。经过m-1次就可以把全部分类对象归为一类，这样就可以根据归并的先后顺序作出 聚类谱系图。 例题：根据距离矩阵式（3.4.9），用直接 聚类法对某地区的9个农业区进行聚类分析, 步骤如下:(1)在距离矩阵D中，除去对角线元素 以外，d49=d94=0.51为最小者，故将第4区与 第9区并为一类，划去第9行和第9列；(2)在余下的元素中，除对角线元素以 外，d75= d57=0.83为最小者，故将第5区与 第7区并为一类，划掉第7行和第7列； (3)在第2步之后余下的元素之中，除对 角线元素以外，d82= d28=0.88为最小者，故 将第2区与第8区并为一类，划去第8行和第8列；(4)在第3步之后余下的元素中，除对角 线元素以外，d43= d34=1.23为最小者，故将 第3区与第4区并为一类，划去第4行和第4 列，此时，第3、4、9区已归并为一类；(5)在第4步之后余下的元素中，除对角 线元素以外，d21= d12=1.52为最小者，故将 第1区与第2区并为一类，划去第2行和第2列 ，此时，第1、2、8区已归并为一类；(6)在第5步之后余下的元素中，除对角 线元素以外，d65= d56=1.78为最小者，故将 第5区与第6区并为一类，划去第6行和第6列 ，此时，第5、6、7区已归并为一类； (7)在第6步之后余下的元素中，除对角 线元素以外，d31= d13=3.10为最小者，故将第 1区与第3区并为一类，划去第3行和第3列， 此时，第1、2、3、4、8、9区已归并为一类； (8) 在第7步之后余下的元素中，除去对 角线元素以外，只有d51= d15=5.86，故将第1 区与第5区并为一类，划去第5行和第5列，此 时，第1、2、3、4、5、6、7、8、9区均归并为一类。 根据上述步骤，可以作出聚类过程的谱 系图3.4.1。图3.4.1 直接聚类谱系图 四、最短距离聚类法 n原理最短距离聚类法，是在原来的mm距离矩阵的非对角元素中找出 ，把分类 对象Gp和Gq归并为一新类Gr，然后按计算公式 计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到 一个新的（m1）阶的距离矩阵； 再从新的 距离矩阵中选出最小者dij，把Gi和Gj归并成新类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去 ，直至各分类对象被归为一类为止。（3.4.10） 例题:以下根据式（3.4.9）中的距离矩阵，用最短距离聚类法对某地区的9个农业区进行 聚类分析。(1) 在99阶距离矩阵D中，非对角元素 中最小者是d94=0.51，首先将第4区与第9区并 为一类，记为G10=G4，G9。按照公式（ 3.4.10）式分别计算G1，G2，G3，G5，G6， G7，G8与G10之间的距离得d1，10=mind14，d19= min2.19，2.62=2.19d2，10=mind24，d29= min1.47，1.66=1.47d3，10=mind34，d39= min1.23，1.20=1.20d5，10=mind54，d59= min4.77，4.84=4.77d6，10=mind64，d69= min2.99，3.06=2.99d7，10=mind74，d79= min4.06，3.32=3.32d8，10=mind84，d89= min1.29，1.40=1.29(2)这样就得到G1，G2，G3，G5，G6，G7 ，G8，G10上的一个新的88阶距离矩阵 (3)在上一步骤中所得到的88阶距离矩 阵中，非对角元素中最小者为d57=0.83，故将 G5与G7归并为一类，记为G11，即G11=G5， G7。 按照公式（3.4.10）式分别计算G1，G2， G3，G6，G8，G10与G11之间的距离，可得到 一个新的77阶距离矩阵 (4)在第2步所得到的77阶距离矩阵中， 非对角元素中最小者为d28=0.88，故将G2与G8 归并为一类，记为G12，即G12=G2，G8。 再按照公式（3.4.10）分别计算G1，G3，G6， G10，G11与G12之间的距离，可得到一个新的 66阶距离矩阵 (5)在第3步所得的66阶距离矩阵中，非 对角元素中最小者为d6，11=1.07，故将G6与G11 归并为一类，记为G13，即G13=G6，G11= G6，（G5，G7）。再按照公式（3.4.10） 计算G1，G3，G10，G12与G13之间的距离，可 得到一个新的55阶距离矩阵 (6)在第4步所得的55阶距离矩阵中，非 对角线元素中最小者为d3，10=1.20，故将G3与 G10归并为一类，记为G14，即G14=G3，G10 =G3，（G4，G9）。再按照公式（ 3.4.10）计算G1，G12，G13与G14之间的距离 ，可得一个新的44阶距离矩阵 (7)在第5步所得到的44阶距离矩阵中 ，非对角线元素中最小者为d12，14=1.29，故 将G12与G14归并为一类，记为G15，即G15= G12，G14=（G2，G8），（G3，（G4， G9）。再按照公式（3.4.10）计算G1， G13与G15之间的距离，可得一个新的33阶 距离矩阵 (8)在第6步所得的33阶距离矩阵中，非对角线 元素中最小者为d1，15=1.32，故将G1与G15归并为一类 ，记为G16，即G16=G1，G15=（G1，（G2，G8 ），（G3，（G4，G9）。再按照公式（3.4.10） 计算G13与G16之间的距离，可得一个新的22阶距离 矩阵 (9)将G13与G16归并为一类。此时，所 有分类对象均被归并为一类。综合上述聚类过程，可以作出最短距 离聚类谱系图（图3.4.2）。 图3.4.2 最短距离聚类谱系图五、最远距离聚类法 最远距离聚类法与最短距离聚类法的 区别在于计算原来的类与新类距离时采用 的公式不同。最远距离聚类法的计算公式是（3.4.11） 例题:对于前面的例子，最远距离聚类法的聚 类过程如下： (1) 在99阶距离矩阵中，非对角元素中 最小者是d94=0.51，将第4区与第9区并为一类 ，记为G10，即G10=G4，G9。按照公式（ 3.4.11）分别计算G1，G2，G3，G5，G6，G7 ，G8与G10之间的距离，得到一个新的88阶距离矩阵(2) 在第1步所得到的88阶距离矩阵中， 非对角线元素中最小者为d57=0.83，故将G5与 G7归并为一类，记为G11，即G11=G5，G7 。按照公式（3.4.11）式分别计算G1，G2，G3 ，G6，G8，G10与G11之间的距离，得到一个新 的77阶距离矩阵如下 (3) 在第2步所得到的77阶距离矩阵中， 非对角线元素中最小者为d28=0.88，故将G2与 G8归并为一类，记为G12，即G12=G2，G8 。再按照公式（3.4.11）分别计算G1，G3，G6 ，G10，G11与G12之间的距离，得到一个新的 66阶距离矩阵如下 (4)在第3步所得的66阶距离矩阵中，非对 角元素中最小者为d3，10=1.23，故将G3与G10归 并为一类，记为G13，即G13=G3，G10= G3，（G4，G9）。再按照公式（3.4.11）计 算G1，G6，G11，G12与G13之间的距离，得到一 个新的55阶距离矩阵如下 (5)在第4步所得的55阶距离矩阵中，非对 角线元素中最小者为d1，12=1.52，故将G1与G12 归并为一类，记为G14，即G14=G1，G12= G1，（G2，G8）。再按照公式（3.4.11）分 别计算G6，G11，G13与G14之间的距离，得到一 个新的44阶距离矩阵如下 (6)在第5步所得的44阶距离矩阵中，非 对角线元素中最小者为d6，1