2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法反证法1.直接证明的两种基本证法 ：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点 ：由因导果执果索因3.在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法 结论 已知条件 （1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.思考？把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，同一法也是一种间接证法.一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。否定结论推出矛盾肯定结论，即分三个步骤：反设归谬存真反设假设命题的结论不成立；存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件否定结论导致逻辑矛盾反设不成立结论成立反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成- -立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 - -论正确 归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多 个” -类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。 证明：假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1a2是奇数，与已知矛盾。假设不成立，所以a是偶数。注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方 向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。说明：常用的正面叙述词语及其否定：正面 词语词语等于大于（ ）小于 (0,y0，x+y2，求证： 中至少有一个小于2。分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法 练习：1、 已知实数a，b，c满足00，ab+ac+bc0，abc0，求证：a0，b0，c0小结1.反证法是一种间接证明的方法，是 解决某些“疑难”问题的有力工具，其 基本思路是： 假设结论不成立构设矛盾否定假设 肯定结论.2.反证法主要适用于以下两种情形：（1）所证的结论与条件之间的联系不 明显，直接有条件推出结论线索不清晰 ；（2）从正面入手需要分成多种情形进 行讨论，而从反面证明，只要研究一种 或很少的几种情形.归纳总结三个步骤：反设归谬存真归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的 证明方法叫做反证法。（1）直接证明有困难正难则反!哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题归纳总结反思1：用反证法证题的一般步骤是什么？（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立 。（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 。1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？ （1）与原命题的条件矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；（2）与假设矛盾。（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性或肯定性命题。2、你认为反证法的使用情形有那些？反思2：（4）与客观事实矛盾.推 理 与 证 明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构