高中数学竞赛专题讲座第 1 页平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有)(22222BPAPACAB；中线长： 222222acbma4 垂线定理：2222BDBCADACCDAB高线长：CbBcA abccpbpappahasinsinsin)()(25 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如 ABC 中， AD 平分 BAC，则 ACAB DCBD； （外角平分线定理） 角平分线长： 2cos2)(2Acbbcapbcp cbta（其中p为周长一半）6 正弦定理：R CcBbAa2sinsinsin， （其中R为三角形外接圆半径） 7 余弦定理：Cabbaccos22228 张角定理： ABDACACBADADBACsinsinsin9 斯特瓦尔特 (Stewart)定理：设已知 ABC 及其底边上B、C 两点间的一点D，则有 AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半（圆外角如何转化？）11 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理： ）13 布拉美古塔（ Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD 中， ACBD，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14 点到圆的幂：设P 为 O 所在平面上任意一点，PO=d， O 的半径为r，则 d2r2就是点 P 对于 O 的幂过 P任作一直线与O 交于点 A、B，则 P A PB= |d2r2| “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴 )所在直线交于一点15 托勒密（ Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC BD=AB CD+AD BC，(逆命题成立) （广义托勒密定理）AB CD+AD BCAC BD16 蝴蝶定理： AB 是 O 的弦， M 是其中点，弦CD、 EF 经过点 M，CF、DE 交 AB 于 P、Q，求证： MP=QM17 费马点： 定理 1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理 2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点高中数学竞赛专题讲座第 2 页18 拿破仑三角形：在任意ABC 的外侧，分别作等边ABD、 BCE、 CAF，则 AE、AB、CD 三线共点，并且AEBFCD，这个命题称为拿破仑定理以ABC 的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆 C1、 A1、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1、 A1、 B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC 的三条边分别向ABC 的内侧作等边ABD、 BCE、 CAF，它们的外接圆C2、A2、 B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2、 A2、 B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19 九点圆（ Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆） ：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如 : （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理20 欧拉（ Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上21 欧拉（ Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则 d2=R22Rr22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和23 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1 的两部分；)3,3(CBACBAyyyxxxG重心性质：（1）设 G 为ABC 的重心，连结AG 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则1:2:GDAG；（2）设 G 为ABC 的重心，则ABCACGBC GABGSSSS31；（3）设 G 为 ABC 的重心，过G 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 G 作 PFAC 交 AB 于 P，交 BC于 F，过 G 作 HKAB 交 AC 于 K，交 BC 于 H，则2; 32ABKHCAFPBCDEABKHCAFPBCDE；（4）设 G 为ABC 的重心，则222222333GCABGBCAGABC；)( 31222222CABCABGCGBGA；22222223PGGCGBGAPCPBPA（P 为ABC 内任意一点）；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GCGBGA最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为 ABC 的重心）24 垂心：三角形的三条高线的交点；)coscoscoscoscoscos,coscoscoscoscoscos(CcBbAayCcyBbyAaCcBbAaxCcxBbxAaHCBACBA垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍；（2）垂心 H 关于 ABC 的三边的对称点，均在ABC 的外接圆上；（3）ABC 的垂心为H，则 ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆；（4）设 O，H 分别为 ABC 的外心和垂心，则HCABCOABHCBOHACBAO,25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cbacybyaycbacxbxaxICBACBA内心性质：（1）设 I 为ABC 的内心，则I 到ABC 三边的距离相等，反之亦然；高中数学竞赛专题讲座第 3 页（2）设 I 为ABC 的内心，则CAIBBAICABIC 2190, 2190, 2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交 ABC外接圆于点 K，I 为线段 AK 上的点且满足KI=KB ，则 I 为ABC 的内心；（4）设I 为ABC 的内心，,cABbACaBCA平分线交BC 于 D，交 ABC 外接圆于点K，则acbKDIKKIAKIDAI；（5）设 I 为ABC 的内心，,cABbACaBCI 在ABACBC,上的射影分别为FED,，内切圆半径为r，令)( 21cbap，则prSABC；cpCDCEbpBFBDapAFAE;；CIBIAIpabcr26 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin2sin2sin2sin2sin2sin,2sin2sin2sin2sin2sin2sin(CBACyByAyCBACxBxAxOCBACBA外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设 O 为ABC 的外心，则ABOC2或ABOC2360；（3） SabcR4； （4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC 的三边,cABbACaBC令)(21cbap，分别与ABACBC,外侧相切的旁切圆圆心记为CBAIII,，其半径分别记为CBArrr,旁心性质：（1）, 21,2190ACBICBIACBICBA（对于顶角B， C 也有类似的式子） ；（2）)( 21CAIIICBA；（3）设AAI的连线交 ABC 的外接圆于D，则DCDBDIA（对于CBCIBI ,有同样的结论） ；（4）ABC 是 IAIBIC的垂足三角形，且 IAIBIC的外接圆半径R等于 ABC 的直径为 2R28 三角形面积公式：CBARRabcCabahSaABCsinsinsin24sin21212)cotcot(cot4222CBAcba)()(cpbpapppr， 其中ah表示BC边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，)(21cbap29 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin2cos2cos4,2cos2sin2cos4,2cos2cos2sin4;2sin2sin2sin4CBARrCBARrCBARrCBARrcba.1111;2tan2tan,2tan2tan,2tan2tanrrrrBArrCArrCBrrcbacba30 梅涅劳斯（ Menelaus）定理：设 ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有1 RBAR QACQ PCBP （逆定理也成立）高中数学竞赛专题讲座第 4 页31 梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC 的A 的外角平分线交边CA 于 Q，C 的平分线交边AB 于 R，B 的平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线32 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意 ABC 的三个顶点A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB 的延长线交于点P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线33 塞瓦 (Ceva)定理：设X、Y、Z 分别为 ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZBBX XCCY YA=134 塞瓦定理的应用定理：设平行于 ABC 的边 BC 的直线与两边AB、AC 的交点分别是D、E，又设 BE 和 CD 交于 S ，则 AS一定过边 BC 的中点 M35 塞瓦定理的逆定理： （略）36 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设 ABC 的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点38 西摩松（ Simson）定理：从 ABC 的外接圆上任意一点P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则 D、E、R 共线， （这条直线叫西摩松线Simson line） 39 西摩松定理的逆定理： （略）40 关于西摩松线的定理1：ABC 的外接圆的两个端点P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上41 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42 史坦纳定理： 设ABC 的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于 ABC 的点 P