插值法插值法插值法的一般理论Lagrange插值Newton插值分段低次插值Hermite插值、样条插值实际问题期望试验数据观测数据期望内在规律期望函数关系一、数学的期望插值法概述实验数据是否存在内在规律?实验数据的内在规律是什么?实验数据的内在规律是否有函数解析式?反映内在规律的解析式是什么?二、数学的苦恼数学的苦恼实例1标准正态分布函数 (x)求(1.014)查 函 数 表三、插值引例插值引例实例2 xy机翼下 轮廓线求机翼下轮廓线上一点的近似数值该点的值是 多少?插值引例求任一插值点处的函数值或无解析形式,节点可视为由 产生， 表达式复杂,或未知。已知 n+1个节点其中互不相同，不妨设四、插值问题的提法插值问题的提法构造一个(相对简单的)函数通过全部节点, 即再用计算插值，即五、求解插值问题的基本思路求解插值问题的基本思路插值的基本原理 常见的插值方法拉格朗日插值，分段线性插值，三次样条插值牛顿插值Hermite插值 插值多项式:存在性、唯一性、收敛性误差估计六、本章主要内容主要内容七、插值法的一般定义插值法的一般定义插值法的一般定义定理1证明设有n+1个互不相同的节点则存在唯一的多项式： 使得构造方程组一般插值多项式的原理令：方程组的矩阵形式如下： 所以方程组（4）有唯一解。 证毕此定理说明只要n+1个节点互异，满足上述插值条件 的多项式是唯一存在的。一般插值多项式的原理我们的问题是如何确定 进而求得 事实上，方程组的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。 解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的 是此方程组是病态方程组,当阶数n越高时，病态越重 。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x) 的方法-用 程序和Lagrange插值、Newton插值等。一般插值多项式的原理第一节 Lagrange插值法插值法Lagrange插值法的一般理论Lagrange插值基函数Lagrange插值余项和误差估计Lagrange插值多项式的构造已知 n+1个节点其中互不相同，不妨设的插值多项式一、Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造线性插值基函数称为线性插值多项式Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造基 函 数 的 图 形Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造拉格朗日(Lagrange) 插值多项式二、拉格朗日(Lagrange) 插值优点: 结构紧凑, 理论分析方便 缺点: 改变一个节点则全 部的插值基函数都改变,即 节点增加,基函数失效 Lagrange插值三、拉格朗日插值的余项与误差估计定理2证明Lagrange插值余项与误差估计Lagrange插值余项与误差估计证毕更有特别地,当n=1时,线性插值余项为:Lagrange插值余项与误差估计当n=2时,抛物插值的余项为:误差估计Lagrange插值余项与误差估计注意1、此结论适合所有插值多项式。证明 过程并未涉及插值多项式的形式。2、 形式上与泰勒余项很相象，但Taylor多项式要求在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式要求在n+1个不同点上函数值相等。Lagrange插值余项与误差估计例1解Lagrange插值余项与误差估计Lagrange插值余项与误差估计这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差为Lagrange插值余项与误差估计其中于是Lagrange插值余项与误差估计将0,/2 n等分，用g(x)=cos(x)产生n+1个节点， 作Ln(x)（取n=1,2) ,计算cos(/6)。若n=1, 则(x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0),例2解cos(/6)=0.6667Lagrange插值余项与误差估计cos(/6)=L2(/6)=0.8508 精确值：cos (/6)=0.8660Lagrange插值余项与误差估计Runge现象:四、拉格朗日插值多项式的振荡x0=0; x1=1.5; x2=5.1; y0=-1; y1=4.25; y2=35.21; m0=(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2); m1=(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2); m2=(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1); Lx_,n_:=y0*m0+y1*m1+y2*m2 Lx,n Simplify%/NLagrange程序1因式分解形式的 化简或展开Lagrange插值多项式的振荡x0=1; x1=10; x2=11; x3=15; x4=16; wx=Productx-xi,i,0,4; l0x=wx/(Dwx,x/.x-x0)/(x-x0); l1x=wx/(Dwx,x/.x-x1)/(x-x1); l2x=wx/(Dwx,x/.x-x2)/(x-x2); l3x=wx/(Dwx,x/.x-x3)/(x-x3); l4x=wx/(Dwx,x/.x-x4)/(x-x4);程序2Lagrange插值多项式的振荡y0=1;y1=2;y2=3;y3=4;y4=5;Lx_,n_:=y0*l0x+y1*l1x+y2*l2x+y3*l3x+y4*l4x;Lx,nExpand%展开乘积与幂，即把多项 式写成单个项的和的形式Lagrange插值多项式的振荡fx_:=Expx A=Tablex,fx,x,0,0.8,0.2/N g1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize18; InterpolationA,InterpolationOrder-3 g2=Plot%x,x,0,0.8 Showg1,g2 N%0.12,20 N%0.72,20 Nf0.12,20 Nf0.72,20插值法主程序Lagrange插值多项式的振荡内容小结1. 插值法概述；内 容 小 结2. 一般插值多项式原理；3. 拉格朗日插值；4. 拉格朗日插值余项和误差估计；5. 拉格朗日插值多项式的构造。X=x0,x1,x2,x3=10,11,12,13;y=y0,y1,y2,y3=2.3026,2.3979,2.4849,2.5649;A=TransposeTablex0j,x1j,x2j,x3j,j,0,3;MatrixForm%;AA=LinearSolveA,y/NX1=1,x,x2,x3;X1.AAN%/.x-11.75,10可产生向量、 矩阵等一般插值多项式的原理A=0,-1,1.5,4.25,5.1,35.21g1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize10;InterpolationA,InterpolationOrder-2g2=Plot%x,x,0,5.1;Showg1,g2N%3.66,5绘制点图 点的绝对 直径插值、插入一般插值多项式的原理插 值 法Lagrange 插值Newton 插值样条插值误差估计分段插值两点式点斜式等距节点算法 比较推广方法均差差分知识结构框图