9最大理想 9.1 定义及等价条件 9.2 基本结论 9.3 进一步的结论9.1 定义及等价条件以下我们要认识两种由一个交换环来得到一个域 的重要方法,第一种就是利用最大理想的方法(本节 内容),第二种方法是分式域(下节内容)。一个基本的模型：定义 一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最 大理想,假如，除了 同 自己以外，没有包含 的 理想。最大理想有下面一些等价表述:(1)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理想,如果存在理想 满足: , 那么 或 . (2)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理想,如果存在理想 满足: , 那么 . (3)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理想,如果存在理想 满足: , 那么 .例1 我们看整数环 。我们说，由一个素数 所生 成的主理想 是一个最大理想。因为：假定 是 理想，并且:那么 一定包含一个不能被 整除的整数 。由于 是素数， 与 互素，所以我们可以找到整数s和t， 使得但 也属于 ，而且 是理想，所以9.2 基本结论定理 假定 是一个有单位元交换环， 是R的一个理想 。是一个域是 一个最大理想的时候。证明( ) 设 是一个最大理想, 我们分两步证明:(1) 至少有一个非零元.那么 . 因此,在商环 中至少有 一个非零元(?). (2) 每一个非零元可逆.,我们需要证明 可逆. . 构造一个理想 , 那么(?)(?)可逆.是一个域.设 是一个域, 理想 满足: . 我 们需要证明 .取一个 那么 , 可逆(?). 于是, 存在 使得证毕.这样，给了一个有单位元的交换环R，我们只要找 得到R的一个最大理想 ，就可以得到一个域 。例2 R是整数环， 是由素数 所生成的主理想 。那么由上面例1， 是一个域。这个结果我们在 前面已经得到过。9.3 进一步的结论给了一个环R，我们可以利用R的一个最大理想来 得到一个商环 ，使得 除了零理想同单位理想以为 ，没有其它的理想。引理 1 假定 是环R的理想。剩余类环 只有 零理想同单位理想,当而且仅当 是最大理想。证明 我们用 来表示R到 的自然同态满射。 充分性. 已知 是最大理想. 设 是 的理想， 并且那么， 在 这下的逆象 是R的理想， 显然包含 而且不等于 (?)，所以= 这样， 只有零理想同单位理想。必要性. 假定 不是最大的理想, 那么存在 是R的理 想,并且：那么, 在 这下的 的象 是 的理想。由于 ，, 也不会是 . 不然的话，对于R的任意元r， 可以找到 的元b，使得 由于 是理想，可以得到 ，与假定不合 。引理 2 若R是有单位元的、可交换的非平凡环。如果 R只有零理想同单位理想，那么R一定是一个域。证明 我们看R的任意 所生成的主理想 显 然不是零理想,于是由假定, 。因而R的单位 。但 的元都可以写成 的形式,所以这样,R的每个不等于零的元都有一个逆元,R是一个 域。证完。注： 由以上两个引理可以证明定理。作业： P119：2，4