常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念1. 1. 无穷级数的定义无穷级数的定义设有数列un:u1, u2, , un, , 则称表达示为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级数的一般项或通项.若级数的每一个项un均为常数，则称该级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个变量的函数un = un(x), 则称级数为函数项级数.例1. 下列各式均为常数项级数例2. 下列各式均为函数项级数2. 2. 级数的敛散性定义级数的敛散性定义无穷级数的前n项之和：称为级数的部分和.若存在，则称级数收敛，S称为级数的和：若不存在(包括为)，则称级数发散.例3. 讨论等比级数的敛散性.解：等比级数的部分和为：当公比 | r |1时，当公比 r =1时，当公比 r = 1时，Sn=a, n为奇数0, n为偶数, 故不存在.综上所述，当公比| r |0)的敛散性.解：当p1时，P一级数为调和级数它是发散的.当01, 按1, 2, 22, 23, , 2n, 项对P一级数加括号，不影响其敛散性：而于是，P一级数加括号后生成的级数的每一项均小于以为公比的等比级数的相应项，故此时P一级数收敛.综上所述，当p1, P一级数收敛；当p1时，P一级数发散.4. 4. 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式或从某一项N开始). 若(1) 00为常数)解：因为(即=1为常数)又是调和级数，它是发散的，故原级数发散.例14. 判别级数的敛散性，其中, x0为常数.解：由于而是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数5. 5. 达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法设为正项级数，极限(1) 1 (包括= )时，级数发散；(3) = 1 时，不能由此断定级数的敛散性.例15. 判别级数的敛散性，其中，x0为常数.解：记即 =01时， 1 时，原级数发散.6. 6. 柯西根值判别法柯西根值判别法设为正项级数，极限(1) 1 (包括= )时，级数发散；(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.例17. 判别级数的敛散性，其中, x 0 为常数.解：记即 = 0 0, a0为常数.解：记即当xa时，当01 (包括= )时，级数发散；(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.例21. 判别级数的敛散性.解：由P一级数的敛散性，即原级数绝对收敛.例22. 判别的敛散性，其中，x1为常数.解：记当|x|1时，=1, 此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|1时，从而，原级数发散.例23. 级数是否绝对收敛?解：由调和级数的发散性可知，故发散.但原级数是一个收敛的交错级数：故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.(2) 绝对收敛级数的性质性质性质1 1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.性质性质2. 2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.