-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 叙述并证明余弦定理(精选多篇)叙述并证明余弦定理 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要 定理，直接运用它可解决一类已知三角 形两边及夹角求第三边或者是已知三个 边求角的问题，若对余弦定理加以变形 并适当移于其它知识，则使用起来更为 方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和 斜边的比值叫这个锐角的余弦值编辑本段余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平 方等于其他两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的两倍积，若三边为 a，b，c 三角为 a，b，c，则满足性质 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 a =b +c -2bccosab =a +c -2accosbc =a +b -2abcosccosc=/cosb=/cosa=/第一余弦定理设abc 的三边是 a、b、c，它们 所对的角分别是 a、b、c，则有a=bcosc+ccosb，b=ccosa+acosc，c=a cosb+bcosa。编辑本段余弦定理证明平面向量证法如图，有 a+b=ccc=c =aa+2ab+bbc =a +b +2|a|b|cos又cos=-cosc2=a2+b2-2|a|b|cos-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 再拆开，得 c2=a2+b2- 2*a*b*cosc即 cosc=/2*a*b同理可证其他，而下面的 cosc=/2ab 就是将 cosc 移到左边表示一 下。平面几何证法在任意abc 中做 adbc.c 所对的边为 c，b 所对的边为 b，a 所对的边为 a则有 bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a- cosb*c根据勾股定理可得：ac2=ad2+dc2b2=2+2b2=2+a2-2ac*cosb+2*c2b2=*c2-2ac*cosb+a2b2=c2+a2-2ac*cosbcosb=/2ac-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 编辑本段作用已知三角形的三条边长，可求出 三个内角已知三角形的两边及夹角，可求 出第三边。已知三角形两边及其一边对角， 可求其它的角和第三条边。判定定理一：若记 m 为 c 的两值为正根的个数， c1 为 c 的表达式中根号前取加号的值， c2 为 c 的表达式中根号前取减号的值若 m=2,则有两解若 m=1,则有一解若 m=0,则有零解。注意：若 c1 等于 c2 且 c1 或 c2 大于 0，此种情况算到第二种情况，即 一解。判定定理二:一当 absina 时当 ba 且 cosa0 时，则有两 解-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 当 ba 且 cosa 当 b=a 且 cosa0 时，则有一解当 b=a 且 cosa 当 b 二当 a=bsina 时当 cosa0 时,则有一解当 cosa 三当 a 例如：已知 abc 的三边之比为 5：4：3，求最大的 内角。解设三角形的三边为 a,b,c 且 a:b:c=5:4:3.由三角形中大边对大角可知：a 为最大的角。由余弦定理cosa=0所以a=90.再如abc 中，ab=2,ac=3,a=60 度，求 bc 之长。解由余弦定理可知bc2=ab2+ac2-2abaccosa=4+9-223cos60=13-12x0.5=13-6-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 =7所以 bc=7.以上两个小例子简单说明了余弦 定理的作用。编辑本段其他从余弦定理和余弦函数的性质可 以看出，如果一个三角形两边的平方和 等于第三边的平方，那么第三边所对的 角一定是直角，如果小于第三边的平方， 那么第三边所对的角是钝角，如果大于 第三边的平方，那么第三边所对的角是 锐角。即，利用余弦定理，可以判断三 角形形状。同时，还可以用余弦定理求 三角形边长取值范围。解三角形时，除了用到余弦定理 外还常用正弦定理。在abc 中，设 bca，acb，abc，试根据 b，c，a 来表示 a。 分析：由于初中平面几何 所接触的是解直角三角形问题，所以应 添加辅助线构造直角三角形，在直角三 角形内通过边角关系作进一步的转化工-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 作，故作 cd 垂直于 ab 于 d，那么在 rt bdc 中，边 a 可利用勾股定理用 c、b 表示，而 cd 可在 rtac 中 利用边角关系表示，db 可利用 abad 转化为 ad，进而在 rtac 内求解。解：过 c 作 cdab，垂足为 d， 则在 rtcb 中，根据勾股定理可得： a2c2b2在 rtac 中， c2b2a2又b22c22caa2a2b2a2c22caa2b2c22ca 又在 rtac 中， adbcosa a2b2c22bccosa 类似地可以证明 b2a2c22accosb，c2a2b22a bcosc-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 余弦定理及其证明 1.三角形 的正弦定理证明：步骤 1.在锐角abc 中，设三边为 a，b，c。作 chab 垂足为点 hch=asinbch=bsinaasinb=bsina得到a/sina=b/sinb同理，在abc 中，b/sinb=c/sinc步骤 2.证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：如图，任意三角形 abc,作 abc 的 外接圆 o.作直径 bd 交o 于 d.连接 da.因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度因为同弧所对的圆周角相等,所以-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 d 等于c.所以 c/sinc=c/sind=bd=2ra/sina=bc/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法：在任意abc 中做 adbc.c 所对的边为 c，b 所对的边为 b，a 所对的边为 a则有 bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a- cosb*c根据勾股定理可得：ac =ad +dc b = + b =sin b*c +a +cos b*c -2ac*cosbb =*c -2ac*cosb+a b =c +a -2ac*cosbcosb=/2ac3-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读-