第2章 测量误差与数据处理 u误差的概念与表示方法；u随机误差、系统误差和粗大误差的特性与处理方法；u测量数据的处理方法。本章要点2.1 测量误差的基本原理2.2 测量误差的分类2.3 随机误差2.4 粗大误差2.5 系统误差2.6 误差的合成与分配2.7 测量数据的处理 教学内容测量就是通过实验来求出被测量的量值，因此测量过程就要涉及标准和误差这两个问题。测量过程中必须要有一个体现计值单位的量作为标准，而且要采用同一标准，测量结果才有意义。人们通过各种方法得到的测量值与真值之间总是有差别的，这个差别就是测量误差。2.1 测量误差的基本原理1.标准的定义标准是一个公认的机构制定和批准的文件，它对活动或活动的结果规定了规则、导则或特性值，供共同和反复使用，以实现在预定结果领域内最佳秩序的效益。2.标准的分类及其定义（1）国际标准 （4）行业标准（2）区域标准 （5）地方标准（3）国家标准 （6）企业标准2.1.1 测量标准2.1.2 测量误差研究测量理论的原因：（1）合理、正确地处理数据，得出被测量的最佳估计值（2）根据数据处理的结果正确表示出测量不确定度。（3）正确地分析误差来源及规律，以便在测量中合理地 选择仪器、方法及环境，消除不利因素，完善检测手段，提 高 测量准确度。（1）单次测量 （2）多次测量：可以观察测量结果一致性的好坏。 （3）等精度测量 （4）非等精度测量1. 测量常用术语（5）真值A0：真实数值（理论上的、理想概念） （6）指定值As：约定真值，指定值（基准） （7）实际值A：相对真值，上一级标准所测量的值 （8）标称值：测量器具上标定的数值 （9）示值：测量值，测量器具指示的值，数值、单位测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 （1）绝对误差实际应用中常用实际值实际应用中常用实际值A A来代替真值。来代替真值。绝对误差：绝对误差：有有大小，又有符号和量纲大小，又有符号和量纲1. 误差的表示方法 修正值与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称 为修正值：测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修 正值可以是数值、表格、曲线或函数表达式等形式。被测量的实际值：在自动测量仪器中，利用内部的微处理器，存储和处理 修正值，直接给出经过修正的实际值。2.相对误差测量的准确程度，不仅与被测量的绝对误差大小有关， 而 且与被测量的大小有关。例在相对误差相等的情况下，测量值越小，测量的准确程 度 越低，反之越高。相对误差：绝对误差与被测量的真值之比只有大小和符号，没有单位。实际相对误差： 用实际值A代替真值A0 示值相对误差： 用测量值x代替实际值A分贝误差 分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝（dB） 。 分贝误差广泛用于增益（衰减）量的测量中。用相对误差来表示：二、误差的表示方法（续） P24满度相对误差（满度误差、引用误差）仪器量程内最大绝对误差 与测量仪器满度值（上 限值） 的百分比值仪表各量程内绝对误差的最大值： 适合用来表示电表或仪器的准确度 二、误差的表示方法（续）电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。准确度等级在0.2级以上的电表属于精密仪表，适用于要求较高的工作环境及严格的操作步骤。例2-3在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般以示值不小于满度值的2/3为宜。电子测量仪器的容许误差容许误差：测量仪器在规定使用条件下可能产生的最大 误差范围。测量仪器的容许误差可用工作误差、固有误差、影响误 差、稳定误差等来描述。为了保证测量仪器示值的准确，仪器出厂前必须由检验 部门对误差指标进行检验。在使用期间，必须定期进行校准检定，凡各项误差指标 在容许误差范围之内，仪器视为合格。 （1）工作误差工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限值，即 来自仪器外部的各种影响量和仪器内部的影响特性为任意 可能的组合时，仪器误差的最大极限值。（2）固有误差： 固有误差在规定的一组影响量的基准条件下给出的误差 （3）影响误差影响误差是用来表明一个影响量对仪器测量误差的影响。例如温度误差、频率误差。它是当一个影响量在其额定使 用范围内（或一个影响特性在其有效范围内）取任一值，而其 它影响量和影响特性均处于基准条件时所测得的误差。（4）稳定误差稳定误差是仪器的标称值在其他影响量和影响特性保持恒 定的情况下，于规定时间内产生的误差极限。我国新的部颁标准采用上述误差表示方法。原来的标准把测量仪器的误差用基本误差和附加误差来表 示。（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等 不 完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带 有 的误差。 （2）使用误差：由于在测量中对测量设备使用操作不当而引起 的 误差。 （3）人身误差：由于测量者的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯 或 缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。例如读错刻度、计算错误等均属人身误差。总之，人身误差是由于人为因素造成的。要减小人身误差必 须 加强责任心。 （4）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源 电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。2.2 测量误差的分类 2.2.1 测量误差的来源 （5）方法误差和理论误差：由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。例如用普通万用表测量高内阻回路的电压，由于万用表的 输入电阻较低引起的误差。必须选择合适的测量方法。理论误差是用近似的公式或近似值计算测量结果而引起的 误差。例如，用均值表测量非正态信号电压时，进行波形换算， 其定度系数是一个近似值造成的误差是理论误差。因为其依据 的理论公式本身就是近似的。2.2.2 误差的分类根据测量误差性质和特点的不同，测量误差可以分为三大类 ： 随机误差、系统误差和粗大误差。 1.随机误差定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、 测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一 量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以 不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简 称随差。随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量 因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零 件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量 人员感官的无规律变化等。随机误差的特点：有界性：在多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限 ；对称性：当测量次数足够多时，正负误差出现的机会几 乎相同； 抵偿性：随机误差的算术平均值趋于零。 例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到1.235V ，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测 量进行无限多次测量所得结果的平均值之差： 2.系统误差定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量 误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按 一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误 差和零位误差，或值随温度变化的误差。产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确， 环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用 近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。 系差越小，测量就越准确。系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量 进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差 。即3.粗大误差：粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。产生粗差的原因有：测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件 未达到预定的要求而匆忙实验等。测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接测高内 阻电源的开路电压测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低， 雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时， 应剔除掉。 4.系差和随差的表达式在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和 。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存 在的。准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确度越 高，即测量值与实际值符合的程度越高。精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差 越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布 在平均值附近。精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度 越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机 误差都小。射击误差 示意图 2.3 随机误差在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的， 比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微 小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误 差对测量结果的影响。从理论上讨论，大多数测量值的可能取值范围是连续的 ，而实际上由于测量仪器的分辨率不可能无限小，得到 的测量值往往是离散的。1. 数学期望数学期望:反映其平均特性。其定义如下：X为离散型随机变量：X为连续型随机变量：2.3.1 随机变量的数学期望和标准差当 时，用事件发生的频度代替事件发生的概率则令n个可相同的测试数据xi(i=1.2,n) ，次数都计为1 ,当 时，被测量x的数学期望，就是当测量次数 时，各次测量值的算术平均值。 当基本消除系统误差、又剔除粗大误差后，虽然仍有随 机 误差存在，但多次测得值的算术平均值很接近被测量的真值 。 因此可以把算术平均值作为最后的测量结果，并称之为被测 量 的最佳估计值或最可信赖值。（无限多次测量）2. 剩余误差当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之 差，定义为剩余误差或残差。 3. 方差与标准偏差方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量x的数学期望为E(x)，则x的方差定义为：标准偏差定义为：v标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并 且与随机变量具有相同量纲。测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多 微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独 立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微 小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。P.27为什么测量数据和随机误 差大多接近正态分布？1. 正态分布2.3.2 随机误差的分布常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等 。均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差 等； “四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内， 而 不知其分布时，一般可假定均匀分布。 概率密度:均值: 当 时,标准偏差: 当 时，求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实 际 测量中只能进行有限次测量，怎么办？ 2.3.3 有限次测量下的计算方法当n为有限值时，用残差来近似或代替真正的随机误差：标准偏差估计值（贝塞尔公式）：测量值的算术平均值比测量 值更接近真值（条件） 能不能用算术平均值去代替 每一次的测量值去表示标准 差？算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性。 P.29推导：*【例3.1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测 量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：平均值 用公式 计算各测量值残差列于上表中标准偏差估