中位线的应用之图形形状探究张家口市第九中学 田晓丹ABCDE如图，ABC中，点D、点E分别为AB、AC边的中点，连接DE ，则DE与BC的位置关系为_,数量关系为 _。定 理： 三角形的中位线平行于 第三边，且等于第三边 的一半。定理回顾DEBC DE= BCABCDPRFE如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分 别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线 段EF的长度是否发生变化？_(填“变”或“不变”)深化理解不变温馨提示： 出现多个中点时可以考虑 利用三角形中位线解决 问题，构造出中位线所在 的三角形是解决问题的关 键。如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G 分别为AD、AB、CD边上的中点。 （1）若AC=BD，则EFG为_三角形； （2）若ACBD，则EFG为_三角形； （3）当AC_BD时，则EFG为等腰直角三角形。 等 腰 直 角 BD 且 AC= 课本原型BEDCAOF G温馨提示：判断图形形状 线段数量关系位置关系 ADECHFGB如图，ABC和DEC是等腰直角三角形，ACB=DCE=90， F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点。 （1）如图1，点D、E分别在AC、BC的延长线上，直接说出 FGH的形状。（2）将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2， FGH还是等腰直角三角形吗？若是，请给出证明；若不是， 请说明理由。DEHFGACB变式拓展构造图形类比方法ADECHFGB自我探究ACEDBHFG6060探究一：若上图所示ABC和DEC中，ECD =ACB =60， 其余条件不变，（1）判断FGH的形状，并利用图2简要说明理由。（2）图2中,若CD:AC:AD=2:3:4,求：SDEC:SABC:SFGHACEDBHFGD CBEAGFHADEC HFGB归纳猜想：若上图所示ABC和DEC中，ECD =ACB = ， 其余条件不变， 猜想FGH的形状。自我探究ACEDBHFG6060ABCDEHGFADEC HFGB探究二：若上图中的ABC和DEC均为直角三角形， ACB=ECD=90。 （1）若CE=3,CD=4,BC=6,AC=8,直接说出FGH的形状，并求 出FG:HF的值。 （2）若CE:CD=K,BC:AC=K,上述结论还成立吗？若成立，直接 写出FG:HF的值；若不成立，说明理由。ADGHEBCF自我探究DACEGHBFADGHEBCF回顾反思M1.猜猜看，四边形FHMG是什么形状的四边形。温馨提示： 你发现中点四边 形了吗？(1)若ABC和DEC为等腰直角三角形,其余条件不变BADEC HFG回顾反思1.猜猜看，四边形FHMG是什么形状的四边形。(2)若ABC和DEC为等腰三角形，其余条件不变ABCDEHGFM温馨提示： 你发现中点四边 形了吗？回顾反思1.猜猜看，四边形FHMG是什么形状的四边形。(3)若ABC和DEC为直角三角形，其余条件不变温馨提示： 你发现中点四边 形了吗？ADGHEBCFM2.图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角后得到图2， FGH是等腰直角三角形，是否可以旋转一个钝角呢？此 时，上述结论是否成立呢？一个任意角呢？回顾反思ADECHFGBADEC HFGB 图1图2分享收获思想知识方法策略ADECHFGB旋转一个钝角:ABCDEFGHM成果展示ADECHFGB旋转一个直角:ABCEHGFD成果展示ADECHFGB旋转一个平角:ABEDHGCF成果展示ADECHFGB2.图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角后得到图2， FGH是等腰直角三角形，是否可以旋转一个钝角呢？此 时，上述结论是否成立呢？一个任意角呢？回顾反思ADECHFGBAECDHGFBMADECHFGB如图，ABC和DEC是等腰直角三角形，ACB=DCE=90， F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点。 （2）将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2， FGH还是等腰直角三角形吗？若是，请给出证明；若不是， 请说明理由。变式拓展构造图形类比方法ADECHFGB如图，ABC和DEC是等腰直角三角形，ACB=DCE=90， F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点。 （1）如图1，点D、E分别在AC、BC的延长线上，直接说出 FGH的形状。（2）将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2， FGH还是等腰直角三角形吗？若是，请给出证明；若不是， 请说明理由。DEHFGACB变式拓展构造图形类比方法如图，ABC中，点D、点E分别为AB、AC边的中点，连接DE ，则DE与BC的位置关系是 ；数量关系是。定 理： 三角形的中位线平行于 第三边，且等于第三边 的一半。定理回顾DEBCDE= BCBEDCAOFGH分享收获1.解题思路：多个中点-中位线三角形（构造）2.解题方法：特殊 一般 一般构造类比数量关系 位置关系图形形状课本原型BEDCAOFGH