数值分析 Numerical Analysis第四章 数值微分与数值积分郑州大学研究生课程 （2015-2016学年第一学期） 2/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis第四章 数值积分与数值微分4.1 问题提出 4.2 插值型数值积分 4.3 求积公式的代数精度 4.4 复化求积方法4.5 Gauss型积分 4.6 差商型数值微分 4.7 插值型数值微分 3/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.1 问题提出 求积分运算的理论解决各种积分法的综合运用。4/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis实际情况: 函数 的表达式是未知的，在工程实际问题中通 常是以离散点的形式给出。无法使用微积分中的理 论结果。 原函数 难以求出，或者其形式非常复杂，给计 算带来不便。4.1 问题提出5/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis例4.1.1 原函数难以求出的定积分例子.4.1 问题提出6/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis问题提出:4.1 问题提出7/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.2 数值积分的一般问题积分值 在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的. 8/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.2 数值积分的一般问题依据积分中值定理,对于连续函数f(x) ,在a,b内存在一点,使得称f()为区间a,b的平均高度. 问题在于 点的具体位置一般是不知道的.这样,只要 对平均高度 f()提供一种算法,相应地便获 得一种数值求积方法，叫机械求积公式.9/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式插值型求积公式10/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式11/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 插值型求积公式我们用插值多项式P(x)近似地代替函数f(x)所得 的数值积分公式，称为插值型求积公式。1、0次插值区间a,b上，选取中点 作为插值节点，作0次多项式插值，则（中矩形公式）12/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis同理，可得 左矩形公式: I( f )(b-a)f (a) 右矩形公式: I( f )(b-a)f (b)13/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 插值型求积公式2. 以a,b作为插值节点，得此外,众所周知的梯形公式:I(f)(b-a)/2f(a)+f(b)3.以a, (a+b)/2, b作为插值节点, 得 Simpson公式:I(f)(b-a)/6f(a)+4f(a+b)/2)+f(b)14/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 插值型求积公式更一般地,取区间a,b内n+1个xi,(i=0,1,2,n), 做n次插值多项式，构造的求积方法称为插值型求 积公式:15/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 数值积分的一般问题求积节点 求积系数 数值积分公式16/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 数值积分的一般问题分别称为为数值求积公式和求积公式余项17/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 数值积分的一般问题构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问 题有(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ； (ii) 求积公式的误差估计和收敛性为了求积公式的准确性, 我们提供一种判定 求积公式精度高低的准则。18/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 数值积分的代数精度求积公式的定义1 称求积公式具有m次代数精度（或称代数精度 是m次）, 如果它满足下面两个条件:(1)对所有次数 m次的多项式都精确成立, 即对所有 的m次多项式 ，有(2) 但对m+1次多项式不再精确成立，即存在m+1次 多项式 , 使得定义：代数精度19/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 数值积分的代数精度定义1中的条件(1),(2)等价于:20/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis例1 证明梯形求积公式具有1次代数精度证明： 左=右，说明该积分公式对0次多项式精确成立左=右，说明该积分公式对1次多项式精确成立 左！=右，该积分公式对2次多项式不精确成立21/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis22/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis定义：代数精度若某个求积公式对次数 m 阶的多项式准确成立，而对m+1 阶的多项式不一定准确成立。即对应的误差满足：R Pk =0 对任意 k m 阶的多项式成立，且 R Pm+1 0 对某个 m+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为 m 。代数精度的意义：代数精度越高，求积公式对越多的函数 精确成立。 结论：23/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis24/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis25/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式26/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis定理1 数值求积公式(1.2)或(1.3)是插值型的当且仅当它的代数 证明：（必要性 ） 设求积公式（1.2）是插值型的，则精度 。27/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis推论1 对给定求积节点 ，代数精度最高的推论2 若 ，(1.3)是插值型求积公式，则有余项公式 求积公式是插值型求积公式。28/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.5 Newton-Cotes数值积分公式29/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式等距节点的Newton-Cotes求积公式各节点为30/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式其中31/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式32/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式称为n阶Newton-Cotes求积公式，系数 称为 Cotes系数。33/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式常用的低阶Newton-Cotes求积公式1.梯形公式Cotes系数为因此有梯形求积公式34/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式2.Simpson公式Cotes系数为35/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式因此有Simpson公式36/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.3 Newton-Cotes数值积分公式3.Cotes公式Cotes系数为37/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis4.5 Newton-Cotes数值积分公式因此有Cotes求积公式38/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis Newton-Cotes积分系数a, b n 等分, 节点 xi = a +ih (i = 0,1,2,n), h = (b - a)/n, 作变换，令 x = a +th，则 0tn 。于是li(x)的分子、分母：4.3 Newton-Cotes数值积分公式39/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical AnalysisCk(n)称为Newton-Cotes系数 ，它与积分节点和积分区间无直 接关系，只与插值的节点数有关 。40/133 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical AnalysisNewton-Cotes系数(n =1,2,8)41/133 郑