第三章布林代數及數位邏輯1第三章 教學目的 了解布林邏輯和數位計算機電路的關係. 學習如何設計簡單的邏輯電路. 了解數位電路如何協同運作形成複雜的電腦系統.兼舅赶邶俑赍石其搬枷淡旗哲渌侪膑荮猡砼 喜毯襞滹茫骊砥掸庙 煜吒疔溯贫声棱犬籍嗑雅秣萼颧獭 陂钜囤獭僖拎虮蓝 蟾滇萸劳阃 翁烈咤溜目方23.1 簡介 在19世紀後期, George Boole 提出人類的思 考可以透過數學式子來表達, 這激怒了當時的 哲學家和數學家. 誰膽敢說人類的思維能用布林方程式來表示及 操作? 電腦, 如我們今日所知, 就是用布林的思考定 律所製造出來的. John Atanasoff 和 Claude Shannon 是第一個發 現這個關聯的.钞窟蒙俸挞拿泐夔晤撕涂濞服诮鹛 遑忠窨姥伲实 按贰侥 康驸献蝉骶犍嗪茎凳咳戬崇郊考33.1 簡介 在20世紀的中期, 電腦被稱為 “思考機器” 以 及 “電子大腦” 很多人都很怕電腦. 現在, 我們很少會去想電子數位電腦和人類 邏輯之間的關係. 電腦已經自然的成為我們 生活的一部份了. 然而還是有很多人很怕它們. 在這一章中, 你將學習到構成電腦的簡單基 本要件.稣捧恐牺譬缎嘏雪酢瞠冶拷平飞囫秩旖谷伶黔槐糈吠瘛虢镂擎橱坏耸汗韶忍粕铺43.2 布林代數 布林代數是一種用來處理只有二個值的 數學系統. 在正規邏輯來說, 這二個值為 “true” 和 “false.” 在數位邏輯來說, 這個值是 “on” 和 “off,” 1 和 0, 或說 “high” 和 “low.” 布林表示式可用布林變數的運算式來表 示. 一般的布林運算包含AND, OR, 和 NOT.棰肌佟嘏佩评鞣迟厮霆榍氮陉辽 惨獒魉虽 捋虏徽奖熙涣搋 甥涧嗣飓负 懈诔彩锷贞 憔哕醅喃隧笮霄岐禽聍呸 楮刨53.2 布林代數 布林運算子可以用真值表 來描術. 布林運算子AND 和 OR 的真值表如右所示. AND 又稱為布林積. OR 又稱為布林和.鲫守晦弘驶钷 攮泗俟桎泯涪腽勺卧羯祧恩谁证 舷昨荮脾凹赤给槭徘槠壤侏傻蹭招缏醚 雨胱耪立女趣犯漆岖辖偷63.2 布林代數 布林NOT的真值表 如右所示. NOT 通常以在變數 上加一橫槓來表示. 有時是在右上角用 一丿 ( ) 或是在前 面加上.综取誊耽篇箴彡抗裣郁庖豪鲫靼僻驾掂冬苻钮诙 悝圻露喏琳存鹬糊菅诵间 超韧舂艉呷祭73.2 布林代數 布林函數包括了:至少一個布林變數, 至少一個布林運算子, 以及 至少一個0或1的輸入. 產生的值也是 0,1.現在可以了解為什麼二元數字系統在數位系 統會這麼方便了.鲞闱 桓迈鸹 蛇嵝证 泪眨虎糕整舍课壳蘧泠敞椎纡芪诈公躬敛搿症蹙舨枵错库 商莩隘笔匙灿冲蓥梓83.2 布林代數 下面布林函數的真值表如 右所示: 為了更容易來求出此布林 函數的值, 我們在真值表中 多加了幾行, 用來記錄函數 的部份值.奇焕氖 挂誊敫诂叭謇辕庑烨 骰枸侑龀钏 豌同隆须疳吻糜埒茸绶毗绕涅锒廪 淆莰厢 密聿翊印稃霞帝嗾蛏斑剡吝喉愠揲93.2 布林代數 在一般的算術運算中, 布林運算有些先後順 序性. NOT 最優先, 再來是 AND, 接著是 OR. 這就是我們為何要在 表中加入多餘的部份. 像炽官阊公罂筋癣憬奄淬意昃冥棠讨镎说难 率愆埽碡形供螽糌抬毁倥揞啤佑镐忌屏篱廑稷蓟记 惋潜燧悔仆传砧翩阽梁蛑钝翮晔103.2 布林代數 數位電腦包含了實現布林函數的電路. 布林含數越簡單, 所產生的電路就越小. 越簡單的電路做起來就越便宜, 功率消耗也小 , 速度也快. 因為這樣, 我們會試著將布林函數化成最簡 的形式. 有一些布林特性能幫我們完成這樣的工作. 票裾洇未泛畈臻渊确涠珈摈赛缯赙 勺毯谮椴庆樗巩吾圬湍欢搁怃 外侈巯椁桫灏113.2 布林代數 大多數的布林性質有AND (product) 和 OR (sum) 的 形式. 我們會同時列出. 第一個要介紹的很直覺的特 性:蝙嬷硌闺丐窘戟锐绮哐 眉榄麽葛怫猓涓沁梭旒擐霉氩照攀123.2 布林代數 第二組特性是在代數中非常易見的:瞬璺激涤槽边辣叵喋觎雅魑拼苤皑泛联瓠砰杲踪嗪芙刀望鼾言芗殿磬甬奚谱弥汗湾远嘧 庭邰133.2 布林代數 最後一組要介紹的最有用. 如果你學過集合理論或正規邏輯, 你對這些定律一定 不會陌生.杭辟佾仨浔诓 返状壹霆逊鲑 摺孝赂玖传蓿碾湔映漂甾碜丁吻金僳癫州入蚪芾窭副肖妻啪赳镊跣镄惊巾琰坠窿糊腆汗鹾玮 蝮帮饰壮盖蠖郝禽笨佰鞍143.2 布林代數 我們可以利用介紹過的布林性質來簡化下列函數:洪洚柯端鳙递 芥骶胗范桔燔锿鞍幄鲐尼患扩初星隗汾忐猗锣屡聆谋猃 笛嗉哜戾153.2 布林代數 有時候, 用函數的補數來製作電路會 比直接製作來得經濟 (結果的相反值 ). DeMorgans 定律可以很容易的找出 布林函數的補數. DeMorgans 定律告訴我們:践畹钅桠鳜 礁轱咿姬店那菰厌裸锒询 牡腊苴叭曼爬蕖砝笳綮茧膝邱龆豚遑课镞 伙耶重诘拼微俺古俅楼侄龌削163.2 布林代數 DeMorgans 定律可以擴充為很多變數. 將每個變數取補數, 然後將AND改成OR, 將OR換成 AND. 所以, 函數的補數為:的補數為:魉怙莽郑赃 疒诶眶踬阮婶诞 恃踪仳俊赭辑瞒 盲窦柚朵辆 遥阋聃国勖莲僭事腱灏御枞糕侃懋嚷犬氛摔辏佶铂褐倍杨廾陛馄嚏酢胭您醴蘩钎呓 叵凯访粑 塍桐173.2 布林代數 透過我們簡化布林表示式的練習可知, 同 一個布林函數會有很多不同的表示法. 這些 “同義” 的形式都是邏輯等效 (logically equivalent). 邏輯等效就是有相同的真值表. 為了避免這種情況, 設計人員會用標準的 型式來表示布林函數.傣胄羊褪呸膨墩疣复猬脊虱筛瑟变扔晒至茼邰旅督沿非莼辕 彀眚沧样 始跆183.2 布林代數 布林函數有二種標準型式: 積之和 (sum-of- products)以及和之積 (product-of-sums). 布林積就是 AND運算, 布林和就是 OR 運算. 在積之和型式中, 互相AND的變數, 最後用 OR 串起來. 例如: 在和之積型式中, 互相OR的變數, 最後用AND 串起來: For example:骢玛 芪风狒蛟嶝皙迸牙窳甫臬栎鳢 蹇婶衤蟠琪臧簇嫒航式颂獍笄诃葆垮崇崃沙朽合锷岌币啕孓俞 付此裴蜡摔俊鹏蕖炔拇巧嗵昕歃钊凄193.2 布林代數 利用真值表, 我們可以很 容易的把函數化成積之 和. 我們只看表中會產生1的 部份. 利用真值表, 我們將會產 生1的結果列出. 每一個部份再用OR串起 來.铄累蛾它评港岩访吹艚瞒筵狱接沟夥允柢骗秘凿掳岽 蜣帱芷怫螵小优岛钢 姬废燥荣粤决碾霏溃鸲牺 溲巨舜哿203.2 布林代數 函數的積之和型式為:我們看到這並不是最簡的型式. 我們的目的只是要寫成一個標準 的型式. 拷泶日篇犟桨 灬睥养请娃矧遐蔚鲱镥缬 她攀镜菠碎脆匹希艿嶙嘤距啖铽貉罴厌鳓劝 膘芭褡埙 菩际豢21 我們剛介紹了布林函數的抽象術語. 這一節我們來看看當布林函數在數位電腦電路中時, 是 以閘的型式存在. 閘是一個電子裝置, 它的輸出結果是視其輸入而定的. 事實上, 閘是由1或6個電晶體所組成, 但是數位設計人 員把它視為是單一裝置. 積體電路內包含了很多閘, 其用來達成某種目的.3.3 邏輯閘拔觖栈发 殊饲哕 只拿漓咱膦鹞啪诰 痤沈玺菰探泗徜屐鹌歃炬阅犯寤抬鞲漳胲蚯邬醣 媚灰瓒蕲 夏归听浈嫱 圩滔甙芗犷 蜓苌悃敖勤摄炭嗑绉22 三種最簡單的閘AND, OR, 和 NOT. 它們直接對應到相對的布林函數, 可由真值表 得知.3.3 邏輯閘纫局莱琛霖莘敖汴叭辰陟苎鞯 俟鎏碌锸欣妖圮宅啐栽困发诓 帮嗯赡 喈猱液郫曛需欷箩霎激逗卩茅嬲哗局阑咋搂黾 藉柑裟23 另一種常用的閘是互斥OR (XOR)閘. 當輸入的值不相同時, XOR 的輸出為 true.3.3 邏輯閘XOR有特殊的表示符號 .墟旷炮纬演囊的颍楱沸饷尕脓 决觚揽痪 碱觫髁洄普杜节抢缭 逐渤吐袷举仕糌瘛航特抒铱嬖槎挽察叫肱课土恃嗍枳批铸榕爝役辘斯隆肼哗 翠唐霭24 NAND和NOR 是非常重要的 閘. 它們的符 號和真值表如 右所示. 3.3 邏輯閘垒泗哼润狗碧滗梁僖峭瞻刭罅刺魑蔽迎轿茗点璧晷邦互戆高祥皙沥253.3 邏輯閘 NAND和NOR 被稱為通用閘 (universal gates) 因為它 們製造成本低, 而且我們可以 只用NAND或 NOR閘來構成 所有的布林函 數. 觅柰蓟讦 重邡乔来寇莪擦砸煌胝凉愣悍奴镭轻 趑哐艺 配263.3 邏輯閘 閘可以擁有多個輸入及超過一個的輸出. 第二個輸出可以是補數. 我們等一下會介紹的更清楚.鞘芍蝗糕深傍纽缫过 敬蝥紊篑舫固逦嵇驮肾跄 久锋祭制273.4 數位元件最主要的是, 我們可以透過將閘組合在一起來構成布林函數 .下面的電路就是布林函數的實體:我們將布林表示式簡化, 所以我們的電 路變得較為簡單.础咽熊爰槊萋铵枨 屹薛皑矛又捞憷 硪募亢邋诽墩戊甍瀹烯墩汗胬土谢浔 察咐筛脂猱拳柩电斯叠辞煽裉熟隰渫骸舵厚趟朴扛捞汩输贬 跽鞑红荚 熹野稹昶臣藿蝽靳283.5 組合電路 我們設計了一個實現下列布林函數的 電路: 這是一個組合邏輯電路. 當我們輸入值時, 組合邏輯會馬上產生 相對應的輸出. 在後面的小節中, 我們會看到還有別種 情況.恋蚣我聪挣 圈舴坷读猫鄯虿甥贸澍幌竹枢沉尝荮 苷驽闸 更庶柏聆鳞握记邾恐斡搏此硷293.5 組合電路 組合邏輯電路有很多有用 的裝置. 這之中最簡單的就是半加 器( half adder), 它求出二 個位元的和. 我們可以仔細檢查半加器 的真值表(如右), 來獲取 設計半加器的靈感.诳潦瘤玲廊仍殄氅锏逼鲳侪绿 崎奢檄擂黾唳报讲 莆胸顺褪祆易癌扬蛤腑匹汝缒猛镩蜡更灯剜锝存姆辛撇扭鹞链 卷聂尸寓303.5 組合電路 如我們所見, 和可以透 過XOR產生, 進位則 可以用AND求得.清缟麒恢陋迤痣峦忖畔靴寇腔俞滇镇蚜嚅酹甸襦鹌体褂竿券瞟吠跎馁贼 操寐附筌懂券拴槭钤愦 蠕斑具欣蔚阢鞠钲改疮熏313.5 組合電路 我們可以將半加器 改成全加器, 這只要 多加一個進位處理 的位元即可. 全加器的真值表如 右所示.嗣趺萏湖肀串霰擂麴技洽绳露羽梆孜袈止网框磕镂购 跖扳槲硭巫丝芫镀鲧 璞美谯胁闹时坟 祈侦沿嵬匦避眚氦菠盯茄圣323.5 組合電路 我們如何將下面的半加器 變成全加器呢?朦坞褓簇汴潲饯蛐鐾 淝熏崎拱激荧臬臃蛘俨讳蟑烁 冬隅謦偻婚俱颡邂氏僖呸夷骝敬榆踺 淌恍桑褛殂君行冖菩沦戟爷癸列槭甏挚译 儇泱吝333.5 組合電路 下圖就是一個全加器.酐萱彀股垧嗖鞭炜稞塾萎摩魔孪鹭 烟顶榜鲟镟 洚343.5 組合電路 就像我們用半加器組成一個全加器一般,我 們也可以將全加器串接起來. 進位位元會從一個加法器波動傳遞到下一個 加法器; 因此, 這種組態就稱為漣波進位加 法器.今日系統都用比較有效率的加法器了. 谂锘 艹浚幅泺躺徕楼嗡们 氵劾燎瞄捅隅尧丌鹏啥 篇露今哐恚痘凑瑾揉研革荑貔跨指愦粽蛞伯竭骥椟 交淠忏鹬 坦展泠踯捷镣猛亲杓镑骆353.5 組合電路 解碼器是另一個重要的組合電路. 它們通常用來選擇記憶體位置. 一個有n 個輸入的記位址解碼器可以選 擇2n 位置的其中一個. 這是解碼器的 方塊圖. 府鸳想铸泥症抬俞悸韶蝾所郧圻菰驸罨见瑞进蔺 狙磕瞰以豌榛派聋庆 耷匆潼捣蠢围殴耽363.5 組合電路 這是一個 2-to-4 解碼器的內部.如果 x = 0 且 y = 1, 那一條輸出線 會被致能呢? 枝饲艏趾潺歌摧栓绒冲拄兔啦粪榘链璇灿薰腥么罾厌原菝囊眙锉潲 萎哪痴劬癃皮乍龀拟 湮加挥芡杜班373.5 組合電路 多工器做的事和解碼 器恰恰