数学建模西安交通大学理学院 戴 雪 峰 E-mail: daixuefengmail.xjtu.edu.cn概率分布方法建立模型一、报童的诀窍（单周期随机库存模型）1、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零 售，晚上将剩余的报纸退回报社，那 末他应如何确定每天购进报纸的数量 ，以获得最大的收入。每份报纸进价为b，零售价为a，退回价 为c（自然假设abc）。2、分析与假设：需求量r为随机变量，假定报童已知 每天 需求r份的概率为f ( r ) ( r = 0 ,1, )，为便 于分析和计算将需求量视为连续型变量， 这时f ( r )转化为概率密度p ( r )。假定每天购进报纸n份, 因报童收入为随 机的。所以优化模型的目标函数是长期卖 报的日平均收入(每天收入的期望值)。3、建模与求解：设每天收入用g(n)表示，G(n)表示其平均 收入，问题归纳为在 已知时, 求n使G( n ) 最大。以上表明：购进的份数n 应该使卖不完与卖完的 概率之比恰好等于卖一份赚的钱与退回一份赔的 钱之比。 显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚与 赔的比越大，报童购进的份数就应越多。二、周期性盘点 （多周期随机库存模型） 1、问题：商店在一周中的销量是随机的，周 末根据存货多少决定是否订货。一种简 单策略：制定一个上、下界S 和s 。当 周末存货s就不订货，当存货s时就 订货，并使下周初存量达到S。问题就 是如何确定s、S，使得策略最优。2、分析与假设：策略的优劣是以总费用为标准。为了叙述方便，时间以周为单位，商 品以件为单位。每次订货费为c0（与数量无关），每 件商品进价为c1，每件商品一周存储费为 c2，每件商品的缺货损失费为c3（c3相当 于售出价格，c1c3）。为使问题简单，只考虑费用（订货费 、存储费、缺货费、购进商品价值）。一周的销售量r是随机的，r的取值较大， 为方便可视为连续型随机变量，其概率密 度为p(r)。周末的存货量为x，订货量为u，并立即 到货。于是，周初的存货量为x+u。一周的销售是集中在周初进行（当期售 出的货物不计存储费，这是为了计算存储 费方便），即一周的存储量为x+u-r。3、建模与求解：按照（s，S）策略要求，当周末存货量xs时， 订货量u=0；当时xs，u0，且x+u=S。先在u0的情况下，求u使得J(u)达到最小 ，从而确定S。下面讨论确定s的方法：c0I(S)+c0I(s)OsSI(x)x三、广告中的学问 1、问题：书店要订新书，拟印广告介绍。虽 图书需求随机，但广告费增加，潜在购 买量会上升并有上限。现有若干潜在买 主，广告优先发给他们。在对需求量随 广告费变化的规律作出合理假设的基础 上，由购进和售出价确定广告费和订购 量，使利润达到最大。2、问题分析：关键在于分析广告费、潜在购买量与随机 需求量之间的关系，并做出合理、简单的 假设。记广告费为c，潜在购买量为s(c)，s(c) 应是c的非降函数，且有一个上界。不妨 设s(0)=0，实际需求量r，其密度为p(r) ，对于给定的广告费c，需求量r在0到 s(c)之间随机取值。设r在区间内 0,s(c)呈均匀分布。s0SOS(C)c0c1C3、模型假设： 购进价a，销售价b，忽略存储费，需求 量r，概率密度p(r)，图书购进量u，销售收 入l(u)，平均销售收入L(u)，平均利润J(u) 。广告费c，广告费中固定费用为c0，每份 广告印刷和邮寄费为k。广告首先发给s0个 确定的潜在买主。潜在购买量s(c)，s(c)非降，且上界S。r 在0,s(c)内呈均匀分布。4、建模求解：目标：确定u、c，使书店的平均利润J(u) 达到最大。为达到目标，分三步：1、先给定c，确定使书店的平均利润J(u) 达到最大时的购进量u。2、构造s(c)的具体形式。3、确定c的最优值。具体过程：1、先给定c，确定使平均利润J(u)达到最大时的 购进量u。销售收入（2）式表示购进图书全部售出时的利润减去 当部分图书不能售出时的损失。将(4)、(5)带入（2），2、构造s(c)的具体形式在C0 ,C1上，s(c)为线性，对于CC1，应有：满足（10）的最简单的函数形式之一是： 和可由s(c)在c1处函数和导函数的连续性 确定，并与(7),(9)合并，得：3、确定c的最优值将（11）带入（6），并记c1OJ(u*)c0CC*C2为了求达到最大的广告费c*，先设当s0个潜在买 主都前来购书，书店的利润应为正值。将（16）带入（5）得u的最优值为：将（15）带入（11）的第3式用微分法不难算出END四、 轧钢中的浪费 1、问题： 轧钢第一道工序是粗轧，轧出钢材长 度服从正态分布，其均值可调，方差 由设备精度决定，不可调。第二道精 轧，先测量粗轧钢材长度，大于规定 长度，切去多余部分；小于规定长度 ，则整根报废。问粗轧时，怎样调整 轧机的均值最经济？2、分析与假设：3、建模与求解：建模的关键是选择合适的目标函数，很自 然的想法就是以两部分浪费之和作为目标 函数，使得平均浪费最少。总的浪费的平均长度为W但是，轧钢的最终产品是成品材，浪费多 少不应以每粗轧一根的平均浪费为标准， 而应以每得一根成品材的平均浪费为标准 ，所以目标函数应改为目标函数可以等价地取数学模型：求m，使W2(m)达到最小。用微分法求W2(z)的极值最优值z*应满足(4)。日常生活中类似的问题： 例1：包装机包装产品，重量随机，方差 已知，重量服从正态分布，出厂时，精确 检验重量，超过500克，按500克出售，不 足500克，重新包装或报废，问如何调整 包装机的包装重量，使得厂方损失最小？例2（难以用数量描述的类似问题）：从 家出发去车站赶火车，由于随机因素，到 达车站的时间随机，但平均时间可控，到 达得早，时间浪费，到达得晚，就赶不上 火车。问如何权衡，决定出发时间，使浪 费最小？五、 设备检查方案 1、问题：工厂定期要对设备进行检查，以 便及时发现和排除故障，设备出现故 障的时刻是随机的，而一旦发生故障 ，设备带故障运行到下一次检查才被 发现，会造成损失；另一方面，每次 检查要支付一定费用。问题是建立一 个随机优化模型，确定检查周期，使 总的平均费用最小。2、分析与假设：3、建模与求解：目标：求s(t)使设备在一次运行（两次故障之间 的时间）中总的平均费用最小。总费用的平均值为（这是一个泛函极值问题，求解略。）求使达到最小。六、 零件的预防性更换 1、问题： 长期运行的零件，会突然发生故障或损 坏，即使及时更换也已造成损失，如果 在零件运行了一定时间后，就对尚属正 常的零件做预防性更换，以避免一旦发 生故障带来的损失。这样做从经济上是 否合算？如果合算，做这种预防性更换 的时间如何确定？2、分析与假设：问题关键在于恰当估计零件能够正常运行 的时间(使用寿命)。 通过实验数据的统计 处理和理论分析，可以确定零件寿命的分 布函数、概率密度和平均寿命等数字特征 。 1）两个基本概念(可靠度与失效率)设零件t时刻仍然正常，则它在t,t+t 内失效的概率为如何求失效率r(t)呢？在实际应用中让N 个零件同时运行，记n(t)为时刻t以前失 效的个数，n(t)为这个单位时间内失效 的个数，则r(t )典型的失效率曲线成浴盆形状早期失效期偶然失效期老化失效期to2）常见的寿命分布（1）指数分布：设失效率为常数f(t)ota=0.5a=1a=2otr(t)a=0.5a=2a=1a=0.5a=2a=1tr(t)ooa=0.5a=2a=1f(t)t3）预防性更换策略：零件寿命X，若故障后损失c1，预防性 更换的费用c2， 显然c1 c2，（否则就 不需要预防性更换）。预防性更换策略是指，确定一个时间T ，当寿命XT时，进行故障后更换， 当X=T时进行预防性更换,使得长期运行 时的经济损失最小。3、建模与求解：目标函数为单位时间的平均损失。零件每 更换一次称为一个周期，则周期长度L(t)周期的平均长度为一个周期内的平均损失为单位时间内的平均损失为将（18）、（19）带入（20）化简得下面讨论（22）在什么条件下有解及怎样 求解。例：设某零件寿命问是否存在预防性更换策略？若存在，如 何确定更换时间T，单位时间的最小平均 损失是多少？满足（24）,存在预防性更换策略，且更 换时间T满足（22），将上面的结果带入 （22）得2e-T=3-T。在这种策略下，单位 时间的平均损失为评注：按常识，预防性更换策略是合理的，现实 生活中也有实例，但我们讨论的模型是从平均损 失最小的角度出发，该策略是有条件的。从（24 ）看，平均寿命越长，失效率增加越快；或故障 后更换与预防性更换的费用比越大，越倾向于采 用预防性更换。注意：寿命服从指数分布，不存在预防性更换。我们讨论的策略要记录零件的运行时间（称为年 龄），当年龄达到T仍然正常时才更换,也称作年 龄更换策略。另一种策略是每过时间T就更换一 次,不管在这过程中是否进行故障后更换，成批 更换策略更便于应用（不需记录每个零件的运行 时间），但它的计算较复杂。