3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 1.平面向量基本定理是什么？ 如果e1、e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 意向量a，有且只有一对实数1，2 ，使a1e12e2.复习巩固2.平面向量的坐标表示的基本原理是 什么？ 在平面直角坐标系中，分别取与x轴 、y轴方向相同的两个单位向量i、j作 为基底，若axiyj，则把有序数对 （x，y）叫做向量a的坐标，记作a (x，y).复习巩固若将向量a的起点移到坐标原点， 则其终点坐标就是向量a的坐标. 复习巩固根据平面向量基本定理，平面内的任意一 个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来 表示，我们设想将这个原理类推到空间， 并建立空间向量基本定理及其坐标表示. 引入课题1、设a，b是空间不共线的两个向量， 对于空间任意一个向量p，能否用向量 a，b线性表示吗？O abP不能探求新知2、设a，b，c是空间不共面的三个向量， 作 a， b， c， p，过点P作 PM/CO，交平面AOB于点M，那么向量 能用向量 ， 线性表示吗？ OABCPMxayb 探求新知3、向量 与向量 的位置关系 如何？向量 用向量 如何表示？OABCPM探求新知4、向量 与 ， 有什么关系？ 向量 与 ， ， 有什么关系？ OABCPM探求新知5、上述分析表明什么结论？如何用 适当的语言阐述？若三个向量a，b，c不共面，则 对空间任一向量p，存在有序实数组 x，y，z，使得pxaybzc.探求新知6、上述结论就是空间向量基本定理， 其中a，b，c叫做空间的一个基底， a，b，c都叫做基向量.那么空间任意 三个向量都能构成一个基底吗？零向 量能否作基向量？一个基底中的三个 基向量是否要起点相同？探求新知7、以a，b，c为基底，空间所有向 量组成的集合如何表示？ p|pxaybzc，x，y，zR 8、对于基底a，b，c，设 pxaybzc，当x，y，z至少一个 为0时，向量 p 的位置分别如何？ 探求新知9、若空间向量的一个基底中的三个基向 量互相垂直，则称这个基底为正交基底 ，若三个基向量是互相垂直的单位向量 ，则称这个基底为单位正交基底，在哪 些空间几何图形中能找到正交基底和单 位正交基底？探求新知10、设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正 交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底 e1，e2，e3可以怎样表示？xyzOe2 e1e3ppxe1ye2ze3 探求新知11、若pxe1ye2ze3，则把x，y， z称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3 下的坐标，记作p(x，y，z).对一个 给定的向量p，其坐标唯一吗？相等向 量的坐标相等吗？ xyzOe2 e1e3p探求新知若向量p(x，y，z)，作 p ，则点P的坐标是什么？(x，y，z)xyzOe2 e1e3pp探求新知例1 如图，点M、N分别是四面体OABC 的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分 点，用向量 ， ， 表示 和 . POABCMNQ典例讲评例2 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， M、N分别是CD1，C1D1的中点，用基底 分别表示向量 和 . BACDB1A1C1D1MN典例讲评1.空间向量基本定理表明，空间任意 一个向量都可以用三个不共面的向量 线性表示，并且基向量的系数是惟一 的，它是平面向量基本定理的推广， 也是空间向量的合成与分解原理.课堂小结课堂小结2.把空间向量放到空间直角坐标系 中进行研究，向量可以用坐标表示 ，从而使空间向量的几何运算转化 为坐标运算，其运算原理下节课再 学习.P94练习：1，2，3.布置作业