清华园学校高三期中考前综合练习3 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分1已知 x， y R，i 为虚数单位，且（xy）i y=1+i，则 x+y=2已知等比数列an的公比为正数，且a3?a9=2a5， a2=1，则 a1=3用一组样本数据8，x，10，11，9 来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差 s=5当 A，B 1 ，2，3时，在构成的不同直线AxBy=0 中，任取一条，其倾斜角小于45 的概率是6已知正方形ABCD 的坐标分别是 （ 1，0） ， （0，1） ， （1，0） ， （ 0，1） ，动点 M 满足：则 MA+MC=7过平面区域内一点 P作圆 O：x2+y2=1 的两条切线，切点分别为A，B，记 APB= ，则当 最小时 cos =8设 f（x）是定义在（，+）上的奇函数，且在区间（0，+）上单调递增，若，三角形的内角 A 满足 f（cosA） 0，则 A 的取值范围是9如图所示的数阵叫“ 莱布尼兹调和三角形” ，他们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如： ，则第 n（n 3）行第 3 个数字是10若函数f（x）=（a，b，c R） （a，b，c，d R） ，其图象如图所示，则a+b+c=11定义在 R 上的函数f（ x）满足，则 f（2012）的值为12已知 f（x）=x3，g（x）=x2+xa，若存在x0 1，（ a0） ，使得 f（ x0） g（x0） ，则实数 a的取值范围是13已知数列 an 满足 an+1=qan+2q2（q 为常数， |q|1） ，若 a3，a4，a5，a6 18， 6， 2，6，30 ，则 a1=14已知函数f（x）=，无论 t 取何值，函数f（x）在区间（ ， +）总是不单调则a 的取值范围是二、解答题： （本大题共6 小题，共计90 分）15在平面直角坐标系中，点在角 的终边上，点Q（sin2 ， 1）在角 的终边上，且（1）求 cos2 ；（2）求 sin（ + ）的值16如图，四边形ABCD 为矩形， AD 平面 ABE ，AE=EB=BC=2 ，F 为 CE 上的点，且BF平面 ACE （1）求证： AE BE；（2）求三棱锥DAEC 的体积；（3）设 M 在线段 AB 上，且满足AM=2MB ，试在线段CE 上确定一点N，使得 MN 平面 DAE 17 某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计 2012 年从 1 月起前 x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量 P（x）件与月份x 的近似关系是：P（x）=x（x+1） （ 412x） （x 12 且 x N+）（1）写出第x 月的需求量f（x）的表达式；（2）若第 x 月的销售量g（x）=（单位：件） ，每件利润 q（x）元与月份x 的近似关系为：q（x）=，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e6 403）18已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 M（2，t） （ t0）在直线上（1）求椭圆的标准方程（2）求以 OM 为直径且被直线3x4y5=0 截得的弦长为2 的圆的方程；（3）设 F 是椭圆的右焦点，过点F 作 OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值19已知 P1（x1，y1） ， P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点 P、A、B 共线，且（1）求 P点坐标（2）若，求 S2011（3）若，记 Tn为数列前 n 项的和，若时，对一切n N*都成立，试求a 的取值范围20设 a0，函数 f（x） =x2+a|lnx1|（1）当 a=1 时，求曲线y=f （x）在 x=1 处的切线方程； （ 2）当 x 1，+）时，求函数f（x）的最小值清华园学校高三期中考前综合练习3 答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分1 （5 分）已知x，y R，i 为虚数单位，且（xy）iy=1+i，则 x+y=3考点 ： 复数代数形式的乘除运算专题 ： 计算题分析： 利用复数相等即可得出解答： 解： x， y R，i 为虚数单位，且（xy）iy=1+i，解得 x=2，y=1 x+y=3 故答案为3点评： 正确理解复数相等的定义是解题的关键2 （5 分） （ 2011?上海模拟）已知等比数列an的公比为正数，且a3?a9=2a5，a2=1，则 a1=考点 ： 等比数列的性质专题 ： 计算题分析： 设出等比数列的公比，然后利用等比数列的通项公式分别表示出a3，a9，a5，a2，联立方程求得a1解答：解：设公比为q，则有，解得故答案为点评： 本题主要考查了等比数列的性质考查了学生对等比数列通项公式的应用3 （5 分）用一组样本数据8，x，10，11，9 来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s=考点 ： 用样本的数字特征估计总体的数字特征；极差、方差与标准差专题 ： 计算题分析： 由题意知本题是包含五个数字的求平均数问题，其中一个数字未知，首先根据平均数做出未知数据，再根据方差公式，代入数据求出结果，注意本题求的是标准差，最后要把方差开方解答： 解：该组样本数据的平均数为10，（ 8+x+10+11+9 ） 5=10， x=12，=2， s=，故答案为：点评： 本题求数据的标准差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题考查最基本的知识点4 （5 分） （ 2010?江苏模拟）阅读下列算法语句：Read S1 For I from 1 to 5 step 2 SS+I End for PrintS End 输出的结果是10考点 ： 循环结构专题 ： 操作型分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5 的值 解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5 的值 S=1+1+3+5=10 故答案为： 10 点评： 根据流程图 （或伪代码） 写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： ： 分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）? 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模5 （5 分）当 A，B 1，2，3 时，在构成的不同直线Ax By=0 中，任取一条，其倾斜角小于45 的概率是考点 ： 古典概型及其概率计算公式专题 ： 计算题；概率与统计分析： 当 A，B 1， 2，3时，在构成的不同直线Ax By=0 共有 7 条其中，倾斜角小于45 的直线有3条由此能求出任取一条，其倾斜角小于45 的概率解答： 解：当 A，B 1，2，3 时，在构成的不同直线Ax By=0 共有 7 条：xy=0，2xy=0，x2y=0， 2x3y=0，3x 2y=0，x3y=0，3xy=0， 其中，倾斜角小于45 的直线有3 条： x2y=0， 2x3y=0，x3y=0，任取一条，其倾斜角小于45 的概率 P=故答案为：点评： 本题考查古典概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意穷举法的合理运用6（ 5 分） 已知正方形ABCD 的坐标分别是 （ 1， 0） ，（0， 1） ，（1， 0） ，（0， 1） ， 动点 M 满足：则 MA+MC=考点 ： 直线的斜率；椭圆的简单性质专题 ： 计算题分析： 先利用直接法求出动点M 的轨迹方程，利用椭圆的定义可判断M 的轨迹为椭圆，再利用椭圆的定义就可求出MA+MC的值解答：解：设点M 的坐标为（ x，y） ，整理，得（x 0） ，发现动点M 的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为A，C 两点，故答案为点评： 本题主要考查直接法求轨迹方程，以及椭圆定义的应用，易错点是没分析出M 的轨迹为椭圆，而用两点间距离公式计算7 （ 5 分）过平面区域内一点 P 作圆 O：x2+y2=1 的两条切线， 切点分别为A， B， 记 APB= ，则当 最小时 cos =考点 ： 简单线性规划；直线与圆的位置关系专题 ： 数形结合分析：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定最小时点P的位置，最后利用二倍角公式计算即可解答：解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当 P 离圆 O 最远时 最小，此时点P坐标为：（ 4， 2） ，记 APO= ，则 sin =则 cos =12sin2 =12 （）2，计算得 cos =，故答案为：点评： 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想8 （5 分）设 f（x）是定义在（，+）上的奇函数，且在区间（0，+）上单调递增，若，三角形的内角A 满足 f（cosA） 0，则 A 的取值范围是考点 ： 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质专题 ： 计算题分析： 根据函数在R 上的奇偶性和在区间（0，+）上的单调性可以判断f（x）在区间（ ，0）的单调性再分角A 是锐角，直角还是钝角三种情况讨论，cosA 的正负，利用f（x）的单调性解不等式解答： 解： f（x）是定义在（，+）上的奇函数，且在区间（0，+）上单调递增， f（x）在区间（， 0）上也单调递增，当 A 为锐角时， cosA0，不等式f（cosA） 0 变形为 f（cosA） f（） ，0cosA，A当 A 为直角时， cosA=0，而奇函数满足f（0）=0， A 为直角不成立当 A 为钝角时， cosA0，不等式f（cosA） 0变形为 f（cosA）f（） ， cosA， A 综上， A 的取值范围为故答案为点评： 本题主要考查了综合运用函数的单调性和奇偶性解含函数符号的不等式，易错点是只考虑函数在（0，+）的单调性，没有考虑（，0）的单调性9 （5 分）如图所示的数阵叫“ 莱布尼兹调和三角形” ，他们是由整数的倒数组成的，第n 行有 n 个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如： ，则第 n（n 3）行第 3 个数字是考点 ： 归纳推理专题 ： 规律型分析： 根据 “ 莱布尼兹调和三角形” 的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，最后即可求出第n（ n 3）行第 3 个数字解答： 解：将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数， 就得到一个如图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形杨晖三角形中第n（ n 3）行第 3 个数字是Cn12，则 “ 莱布尼兹调和三角形” 第 n（n 3）行第 3 个数字是=故答案为：点评： 本题考查归纳推理、通过观察分析归纳各数的关系，据关系求出各值，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题10 （5 分）若函数f（x）=（a，b，c R） （a，b，c，d R） ，其图象如图