第9章 模糊控制系统设计 第9章 模糊控制系统设计 1第9章 模糊控制系统设计 9.1 模糊控制的数学基础 9.1.1 模糊集合与隶属函数 1模糊集合的定义 集合是具有某种特定属性的对象的全体，被讨论的全 部对象叫论域。普通集合的论域中的任何一事物，要 么属于某个集合，要么不属于该集合，不允许有含混 不清的说法。然而，现实生活中却充满了模糊事物和 模糊概念。如“高个子”、“温度不大高”及“温度上升 较快”等，它们的边界并不明确，只能用模糊集合来描述，称这类集合为模糊集合。2第9章 模糊控制系统设计 Zadeh在1965年把普遍集合中的元素对集合的隶属度 只能取0和1这两个值，推广到可以取区间0,1中的任 意一个数值。即可以用隶属度定量去描述论域U中的 元素符合概念的程度，实现了对普通集合中绝对隶属 关系的扩充，从而用隶属函数表示模糊集合，用模糊 集合表示模糊概念。 论域中的模糊子集A，是以隶属函数为表征的集合。 即由映射： A:U0,1确定论域U的一个模糊子集A。 A称为模糊子集的隶 属函数，A (u)称为对A的隶属度，它表示论域U中的 元素u属于其模糊子集A的程度。3第9章 模糊控制系统设计 在0,1闭区间内可连续取值，隶属度也可简记为 A(u)。 在给定论域U上，对于不同的映射（即不同的隶属函数）可以确定不同的模糊子集。所有这些子集组成 的模糊集合的全体，称为U的模糊幂集，记为F(U)，即F(U)=A|A:U0,14第9章 模糊控制系统设计 2模糊集合的表示方法对于论域U上的模糊集合A，通常采用的表达方式有如下几种。(1) Zadeh表示方法当U为离散有限域u1，u2，un时，有式中并不代表“分式”，而是表示元素ui对于集合A的隶属度A (ui)和元素ui本身的对应关系。 5第9章 模糊控制系统设计 同样，“+”号也不表示“加法”运算，而是表示在论域U 上，组成模糊集合A的全体元素ui(i=1，2，n)间排序与整体间的关系。当U是连续有限域时，可表示为式中的积分符号也并不表示求积分运算，而是表示连 续论域U上的元素u与隶属度A (u)一一对应关系的总体集合。6第9章 模糊控制系统设计 例9.1 如图9.1所示的U=a，b，c，d，e，对每一个 元素“块”选定一个关于“圆块”A的隶属度，即给定U到 0,1的一个映射A (a)=1，A (b)=0.9，A (c)=0.4，A (d)=0.2，A (e)=0这样便确定一个模糊子集A，它是“圆块”这一模糊 概念在论域U上的表现，记为 7第9章 模糊控制系统设计 dceab图9.1 论域U中的元素U8第9章 模糊控制系统设计 (2) 矢量表示法如果单独地将论域U中的元素ui（i=1，2，n）所 对应的隶属度值A(ui) 按序写成矢量形式来表示模糊 子集A，则上式即是矢量表示法。应该注意的是：在矢量表示法 中隶属度为0的项不能省略，必须依次列入。上述“圆 块”A的矢量表示法为A=(1，0.9，0.4，0.2，0) 9第9章 模糊控制系统设计 (3) 序偶表示法若将论域U中的元素ui与其对应的隶属度值A (ui)组成 序偶，也可将A表示成上述“圆块”A的序偶表示为 10第9章 模糊控制系统设计 (4) 函数描述法论域U上的模糊子集A完全可以由隶属函数A (u)来表 征，而隶属函数A (ui)表示元素ui对A的从属程度大小 。可以用隶属函数曲线来表示一个模糊子集A。 例如 ，以年龄做论域，取U=0，200。Zadeh给出了“年老 O”和“年轻Y”两个模糊集合的隶属函数式，分别为11第9章 模糊控制系统设计 因此，可以用隶属函数曲线来表示模糊子集O和Y，如 图9.2所示。 125 50 75Y(u) O(u)u“年轻” “年 老”图9.2 “年老”和“年轻”隶属函数曲线12第9章 模糊控制系统设计 3模糊集合的运算对于给定论域U上的模糊集合A、B、C，借助于隶属 函数定义它们之间的运算如下： (1) 相等 uU，都有A(u)= B(u)，则称A与B相等 ，记作A=B。(2) 补集 uU，都有B(u)=1-A(u)，则称B是A的 补集，记作B=AC。(3) 包含 uU，都有A(u)B(u)，则称A包含B， 记作AB。(4) 并集 uU，都有C(u)=maxA(u)， B(u)=A(u)B(u)，则称C是A与B的并集，记作 C=AB。13第9章 模糊控制系统设计 (5) 交集 uU，都有C(u)=minA(u)， B(u)=A(u)B(u)，则称C是A与B的交集，记作 C=AB。另外，普通集合中交换律、幂等律、结合律、分配律 、吸收律、摩根定律也同样适用于模糊集合的运算。14第9章 模糊控制系统设计 1模糊关系 描述元素之间是否相关的数学模型称为关系，描述元 素之间相关的程度的数学模型称为模糊关系。为了区 别于模糊关系，又称关系为普通关系。显然，模糊关 系是普通关系的拓广和发展，而普通关系可视为模糊 关系的特例，模糊关系是模糊数学的重要组成部分。 当论域有限时，可用模糊矩阵表示模糊关系。模糊矩 阵成为模糊关系的主要运算工具。两个非空集合U与V之间直积 UV=|uU，vV9.1.2 模糊关系和模糊矩阵15第9章 模糊控制系统设计 其中的一个模糊子集R被称为U到V的模糊关系，又称二元模糊关系。其特性可以由下面的隶属函数采描述R:UV0,1 隶属函数R(u,v)表示序偶的隶属程度，也描述了 (u,v)间具有关系R的量级。特别在论域U=V时，称R为 U上的模糊关系。当论域为n个集合Ui（i=1,2,n）的 直积U1U2Un时，它们所对应的模糊关系R则称 为n元模糊关系。16第9章 模糊控制系统设计 例9.2 设A、B是实数集合，元素对(a，b)，aA， bB，则对于“b与a大致相等”这样的模糊关系得到隶属函数17第9章 模糊控制系统设计 2模糊矩阵模糊关系通常可以用模糊矩阵、模糊图和模糊集表示 法等三种形式来表示。通常用模糊矩阵来表示二元模 糊关系。 (1) 模糊矩阵的定义当X=xi | i=1, 2, , m，Y=yi | i=1, 2, , n 是有限集合时，则XY的模糊关系R可用下列mn矩 阵来表示18第9章 模糊控制系统设计 式中元素rij=R(xi,yi)。由此表示模糊关系的矩阵，被 称为模糊矩阵，R的取值区间为0,1，rij的值也都在 0,1区间。当m=n时，称R为n阶模糊方阵；当rij全为0 时，称R为零矩阵，记为0；当rij全为1时，称R为全矩 阵，记为E；当rij只在0，1中取值时，称R为布尔矩阵，它对应一 个普通关系。 19第9章 模糊控制系统设计 (2) 模糊矩阵的运算由于模糊矩阵本身是表示一个模糊关系子集，因此根 据模糊集的交、并、补运算定义，模糊矩阵也可做相 应的运算。对于任意两个模糊矩阵R=(rij)mn， Q=(qij)mn，则模糊矩阵的交、并、补运算为20第9章 模糊控制系统设计 例9.3 设则21第9章 模糊控制系统设计 1模糊命题(1) 模糊命题的定义 所谓模糊命题，是指含有模糊概念或者是带有模糊性 的陈述句。例如，“他是个胖子”。(2) 模糊命题的特点 模糊命题的真值，不是绝对的“真”或“假”，而是 反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一 个值，而是有多个值，甚至是连续量。若模糊命题的真值设为a，则a0,1。当一个模糊 命题的真值等于1或者0时，该模糊命题也就是一个清 晰命题了。因此，清晰命题只是模糊命题的一个特例 。 9.1.3 模糊逻辑22第9章 模糊控制系统设计 模糊命题的一般形式为“A：e is F”，其中e是模糊变 量，或简称变量；F是某一个模糊概念所对应的模糊集合。模糊命题的真值就由该变量对模糊集合的隶属 程度来表示，如A=F(e)当F(e)=1时，则A为全真；反之，当F(e)=0时，则A 为全假。 设论域E，有模糊命题“A：e is F”，若eE， F(e)a，且a0,1，则称A为a恒真命题，当a=1时，则为清晰的恒真命题。23第9章 模糊控制系统设计 模糊命题之间的运算有“与”、“或”、“非”运算，分别如下：与运算 AB，其真值为AB或运算 AB，其真值为AB非运算 ，其真值为1-A24第9章 模糊控制系统设计 2模糊逻辑公式(1) 模糊逻辑公式的定义模糊逻辑变量x1，x2，xn和运算符号、-及括号构成的表达式F(x1，x2，xn)称为模糊逻辑公式，简记为f，为便于表示通常将、 分别记为和+。 当模糊变量x1，x2，xn各自取0,1中的数值时， F(x1，x2，xn)取0,1中的一个数值，所以它也是 0,1n0,1的一个映射。也称F是模糊变量x1，x2， ，xn的逻辑函数。25第9章 模糊控制系统设计 (2) 模糊逻辑公式的真值在各模糊变量xi赋以具体值时，模糊逻辑公式F(x1，x2 ，xn)的真值称为F在各变量赋值下的真值，记作 T(F)，也称T(xi)给变量xi赋值。例 9.4 设如果取T(x1)=0.8，T(x2)=0.4，T(x3)=0.7，则T(F)= T(x1)T(x2)T(x3) T(x1)1- T(x2)=(0.80.4)0.7(0.80.6)=0.70.6 =0.7让F为f公式，若对F中所有变量赋值都有T(F)0.5， 则称F是相容的。若对F中所有变量的赋值都有 T(F)0.5，则称F是不相容的。 26第9章 模糊控制系统设计 1模糊条件语句通常的模糊控制规则用下面三种条件语言的形式来表 示，例如： a) 如果水温偏高，那么就加一些冷水。b) 如果衣服很脏，那么洗涤时间应很长，否则洗涤不 必太长。 c) 如果温度偏高且不断上升，那么应加大压缩机的制 冷量。为了形式化和数学处理上的方便，上述条件语句也可 分别表示为9.1.4 模糊推理27第9章 模糊控制系统设计 a) 如果A，那么B。b) 如果A，那么B，否则C。c) 如果A且B，那么C。(1) if A then B 语句在二值逻辑中，这是“若则”的条件命题，通 常用符号PQ表示。在自然语言中，典型的语句可以 用下列方式表现出来： A：他是男学生。B：他理短发。这两句话可以用“若他是男字生，则他理短发”来叙 述。在上述两句话中。如果A是假的，B并不一定是假 的。故对于二值逻辑来说，其真值表如表9.1所示。28第9章 模糊控制系统设计 表9.1 AB真值表 从真值表可以发现，在二值逻辑中，ifthen这种逻辑关系有下述关系AB= BABAB11110001100129第9章 模糊控制系统设计 也就是说，对命题A(x)，xX，B(y)，yY，则在 XY上的二元关系AB的特征函数可表示为AB (x,y)=(1-A(x)(A(x)B(y)上述结论也可以推广到模糊逻辑中。设有论域X、Y，若存在XY上的二元关系R=AB，则其隶属函数为式中AX，BY。因此，模糊关系为例9.5 设有论域X=Y=1，2，3，4，5，AX，BY，且30第9章 模糊控制系统设计 求“若x小则y大”的模糊关系R。 根据 ，故有因此 31第9章 模糊控制系统设计 32第9章 模糊控制系统设计 (2) if A then B else C 语句在二值逻辑中，if A then B else C这种条件语句可 以表示为 (AB)( C)由于A在原