5 平行关系5.1 平行关系的判定问题问题引航1.直线线与平面平行的判定定理是什么？它的作用是什么？2.平面与平面平行的判定定理是什么？它的作用是什么？直线与平面、平面与平面平行的判定定理 文字语语言符号语语言图图形语语言直线线与平面平行若_一条直线线与_的一条直线线_，则该则该 直线线与此平面平行l平面外此平面内平行文字语语言符号语语言图图形语语言平面与平 面平行如果一个平面内 有_ 都平行于另一个平 面，那么这这两个平 面平行 两条相交直线线1.判一判(正确的打“”，错误错误 的打“”)(1)平面内有无数条直线线与平面平行，则则.( )(2)若直线线l上有无数个点都在平面外，则则直线线l.( )(3)过过平面外一点P只能作一条直线线与平面平行.( )【解析】(1)错误.如图，设=l，则在平面内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，an，与平面都平行，但此时与相交.(2)错误.由直线与平面的位置关系知，直线l与平面的位置关系为相交或平行.(3)错误.过平面外一点P可作无数条直线与平面平行.答案：(1) (2) (3)2.做一做(请请把正确的答案写在横线线上)(1)若，a ，b ，则则a与b的关系为为_.(2)如果直线线ab，且a平面，则则b与的关系为为_.(3)在底面为为正六边边形的六棱柱中，互相平行的面视为视为 一组组，则则共有_组组互相平行的面.【解析】(1)由题意知，a，b不在同一平面中，所以a与b的关系为平行或异面.答案：平行或异面(2)由题知b与平面的关系为b或b .答案：b或b (3)六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面.答案：4【要点探究】知识识点1 直线线与平面平行1.对对直线线与平面位置关系的两点说说明(1)直线线在平面外包括两种情形，直线线与平面相交，直线线与平面平行.(2)“直线线与平面不相交”与“直线线与平面没有公共点”是不同的，前者包括直线线与平面平行和直线线在平面内两种情况，后者仅仅指直线线与平面平行.2.判定直线线l和平面平行时时，必须须具备备的三个条件(1)直线线l在平面外，即l.(2)直线线b在平面内，即b .(3)两直线线l，b平行，即lb.这这三个条件缺一不可，此定理可简记为简记为 ：线线线线 平行线线面平行.【微思考】(1)若a，b ，则则直线线a是否一定与直线线b平行？提示：不一定，直线a，b ，则a和b无公共点，所以a和b平行或异面.(2)直线线与平面平行的判定定理中条件l是否可以去掉？提示：不可以.定理中条件l必不可少，若没有这个条件，不一定得到l，可能直线l在平面内.【即时练】给给出三个命题题：若b ，c，ab，ac，则则a.若b ，A，Ba，C，Db，且AC=BD，则则a.若a，b ，ab，则则a.其中不正确命题题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.错误，b ，c，ab，ac，则a或a ；错误，若b ，A，Ba，C，Db，且AC=BD，则a或a 或a与相交；正确，恰好是直线与平面平行判定定理所具备的不可缺少的三个条件.知识识点2 平面与平面平行1.对对两个平面平行的判定定理的三点说说明(1)两个平面平行是指两个不重合的平面无公共点，两个平面相交有垂直相交和不垂直相交两种情形.(2)上述定理告诉诉我们们：判断平面与平面平行问题问题 可以转转化为为判断直线线与平面平行问题问题 ，即要证证明两平面平行，只要在其中一个平面内找到两条相交直线线都与另一个平面平行，就可断定已知的两个平面平行.(3)定理可简单记忆简单记忆 成“若线线面平行，则则面面平行”. 2.利用判定定理证明两个平面平行时必须具备的两个条件(1)有两条直线平行于另一个平面；(2)这两条直线必须为相交直线.【知识拓展】平面与平面平行的判定定理推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.此推论成立需要满足两个条件：(1)一个平面内的两条直线是相交的；(2)此两条相交直线平行于另一个平面.【微思考】(1)两个平面平行，则则两平面内的所有直线线一定相互平行吗吗？提示：不一定.也可能是异面直线，但可以肯定的是它们不相交.(2)若将两个平面平行的判定定理中的条件ab=P去掉，则则平面与平面一定平行吗吗？提示：不一定.因为满足条件的两个平面可能相交，也可能平行.当ab时，如图平面内的两条直线均平行于平面，但平面与平面有两种位置关系.当a与b相交时，与一定平行.【即时练时练 】(2014南昌高一检测检测 )设设，为为两个平面，在下列条件中，可判断平面与平行的是_.，都平行于.内存在不共线线的三点到的距离相等.l，m是内两条直线线，且l，m.l，m是两条异面直线线，且l，m，l，m.【解析】正确.中如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到的距离相等，这两个平面相交，错误.中如果l与m平行，则与相交.错误.正确.答案：【题题型示范】类类型一 线线面平行的判定【典例1】(1)(2014松原高二检测检测 )直线线与平面平行的条件是这这条直线线与平面内的( )A.一条直线线不相交 B.两条直线线不相交C.任意一条直线线都不相交 D.无数条直线线不相交(2)(2014佛山高一检测)如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且 求证：MN平面SBC.【解题探究】1.题(1)中判定直线与平面平行的依据是什么？2.题(2)中由=可以得到MN与SB平行吗？【探究提示】1.判定直线与平面平行的依据是线面平行的定义及线面平行的判定定理.2.由于SA与BD是异面直线，故 不能推出MN与SB平行.【自主解答】(1)选C.因为直线与平面平行，所以这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，选项A中一条直线不相交，可能有其他直线与其相交，故A错误，选项B中两条直线不相交，可能有其他直线与其相交，故B错误，D中有无数条直线不相交，可能有其他直线与其相交，因为无数不是全部，故D错误.(2)连接AN并延长交BC于P，连接SP，因为ADBC，所以又因为所以 所以MNSP.又MN 平面SBC，SP 平面SBC，所以MN平面SBC.【方法技巧】1.判定直线与平面平行的两类方法(1)定义法用反证法说明直线与平面没有公共点；若两个平面平行，则一个平面的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行.(2)定理法设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内.2.证明直线与直线平行的常用方法(1)平行四边形的对边平行.(2)三角形(梯形)中位线定理.(3)同时和第三条直线平行的两条直线平行.(4)在同一平面内，和同一条直线垂直的两条直线平行.(5)如果一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边.(6)在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，同位角相等(内错角相等、同旁内角互补)，两直线平行.【变变式训练训练 】正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为为DD1的中点，试试判断BD1与平面AEC的位置关系，并证证明.【解析】BD1与平面AEC平行.如图，连接BD交AC于O，连接EO.因为E是DD1中点，所以EOBD1.又EO 平面AEC，BD1 平面AEC，所以BD1平面AEC.【补偿训练补偿训练 】已知公共边为边为 AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别别是对对角线线AE，BD上的点，且AP=DQ(如图图).求证证：PQ平面CBE.【证明】作PMAB交BE于点M，作QNAB交BC于点N，连接MN，如图，则PMQN，因为EA=BD，AP=DQ，所以EP=BQ.又AB=CD，所以PM QN，所以四边形PMNQ是平行四边形，所以PQMN.又PQ 平面CBE，MN 平面CBE，所以PQ平面CBE.类类型二 平面与平面平行的判定【典例2】(1)(2014阜阳高一检测检测 )如图图，在四面体ABCD中，E，F分别别为为AB，AC的中点，G，H在AD上且AG=GH=HD，则则平面EFG与平面BCH的位置关系是_.(2)如图图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.求证证：E，F，B，D四点共面.平面MAN平面EFDB.【解题探究】1.题(1)中AG=GH=HD的作用是什么？GF与HC的关系是什么？2.题(2)中E，F，B，D四点共面的条件是什么？中证明平面MAN与平面EFDB平行的关键点是什么？【探究提示】1.AG=GH=HD说明G，H是AD的三等分点，GF是AHC的中位线，GFHC.2.证明一组对边平行即可.关键是在一个平面内找到(或作出)两条相交直线与另一个平面平行.【自主解答】(1)由AG=GH=HD，知G，H为AD的三等分点，故GEHB，GFHC，又GE 平面BHC，HB 平面BHC，故GE平面BHC，同理可证GF平面BHC，又GEGF=G，故平面EFG平面BCH.答案：平行(2)连接B1D1，因为E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，所以EFB1D1.而BDB1D1，所以BDEF.所以E，F，B，D四点共面.易知MNB1D1，B1D1BD，所以MNBD.又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB.所以MN平面EFDB.连接MF.因为M，F分别是A1B1，C1D1的中点，所以MFA1D1，MF=A1D1.所以MFAD，MF=AD.所以四边形ADFM是平行四边形，所以AMDF.又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，所以AM平面BDFE.又因为AMMN=M，所以平面MAN平面EFDB.【方法技巧】判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法.(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.(3)转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则.(4)利用平行平面的传递性：若，则.【变变式训练训练 】 (2014深圳高一检测检测 )如图图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为别为 棱AA1，CC1的中点，O是AC，BD的交点.(1)证证明：B1D1OF.(2)证证明：平面EB1D1平面BDF.【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以DF=BF，O是BD的中点，所以OFBD.又因为BB1DD1，BB1=DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD，所以B1D1OF.(2)由(1)知B1D1BD，而B1D1 平面EB1D1，BD 平面EB1D1，所以BD平面EB1D1.取DD1中点G，连接FG，AG，所以FGAB且GF=AB，所以ABFG是平行四边形，所以AGBF.又因为AEGD1且AE=GD1，所以EAGD1是平行四边形，所以AGED1，所以ED1BF，而E