4.1 不定积分的概念与性质4.2 不定积分的换元积分法4.3 不定积分的分部积分法第4章 不定积分结束前页结束后页又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函数.定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数.4.1.1 原函数的概念例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数.4.1 不定积分的概念与性质前页结束后页(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在例如而在 上 是 的原函数也是它的原函数即 加任意常数都是 的原函数.(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.前页结束后页定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.即2.不定积分的概念前页结束后页例2 求解例1 求解前页结束后页例3 求解前页结束后页3 不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算. 特别地，有前页结束后页4.1.2不定积分的基本积分公式前页结束后页前页结束后页例4 计算下列积分解前页结束后页例5 计算下列积分解 (1)(2)前页结束后页4.1.3 不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质2可以推广到有限多个函数的情形，即性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即 前页结束后页例6 求解注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可 前页结束后页例7 求解例8 求解前页结束后页解例11 求前页结束后页例12 求解有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。 前页结束后页解例14.2 换元积分法4.2.1 第一类换元法前页结束后页定理1前页结束后页根据不定积分的定义，则有公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法 应用定理1求不定积分的步骤为 前页结束后页例2 求解前页结束后页设 是单调可导的函数， 且定理2那么应用第二类换元法求不定积分的步骤为 前页结束后页由函数乘积的微分公式移项得对上式两端同时积分，得公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .或4.3 分部积分法前页结束后页例1 求解