2010届高考数学二轮 复习系列课件 07 极限、导数 解答题的解法 应试策略 考题剖析 试题特点 极限、导数解答题的解法0306111.近年高考各试卷极限与导数考查情况统计2006年高考各地的18套试卷中，有14道导数题，其中考查求导法则的有 5道，考查极限的有5道，考查单调性的有8道，考查极值的有5道，与不等式综合的有5道，与函数综合的有6道.2007年高考各地的19套试卷中，每卷都涉及到导数问题,有7道涉及 到导数与不等式的综合,有15道涉及到函数.其中4道还涉及到函数的应用 需用导数来解决,有4道涉及到数列,主要是考导数解决函数的极值和单调 性问题,在这些试卷中尤以辽宁卷、湖南卷对导数极限的考查要求较高， 辽宁有3道试题涉及到导数，而且是综合题。2008年高考各地试卷中，主要是考查：函数、数列、极限、导数综 合，函数、单调性、不等式、导数的综合，函数应用、概率、导数综合. 由此可见,对导数工具性的考查在增强,对导数综合运用要求在加强.试题特点极限、导数解答题的解法2. 主要特点(1)极限在初等数学与高等数学之间起着重要的衔接作用， 是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变， 因此在重点考查思维方法的高考命题中常把极限作为最好的命 题素材之一.(2)导数是中学选修内容中最为重要的内容，导数为解决函 数问题、曲线问题提供了一般性的方法，由于导数可与函数、 不等式等许多知识进行整合，有利于在“知识网络交汇点”处 命题，合理设计综合多个知识点的试题，考查分类整合、数形 结合等数学思想方法，因此，近几年来加大了导数的考查力度. 主要有如下几方面：试题特点极限、导数解答题的解法应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性；应用导数求函数的极值与最值； 应用导数解决实际问题; 应用导数解决有关不等式问题.（3）重视有限与无限思想的考查.客观世界是有限与无限的统一体，我们既可以通过有限来把握无限.也可以借助无限来确定有限，即“从与对立面的统一中去把握对立面”.数学归纳法、数列极限、函数极限等都是由有限把握无限的极好例证.随着高中数学课程改革的逐步深入，对有限与无限思想的考查力度会不断加大，这是高考命题的一个新趋势.试题特点极限、导数解答题的解法应 试 策 略1.求数列极限的基本方法是，通过适当的化简或变形(如求和、求积、有理化分子或分母、分子分母同除n的最高次幂或同除分子或分母中底数绝对值最大的幂等)，将复杂数列极限问题转化为简单数列极限问题，再利用 =0(k0)或qn=0(|q|1)等重要极限及四则运算法则，求出所求式的极限.解决数列的极限问题还应运用数列的有关知识与技能，注意结合直觉、联想、猜测及分类讨论等思维方法.应试策略极限、导数解答题的解法2.函数极限是数列极限的拓广、延伸.函数极限与数列极限有类似的四则运算法则，求函数极限的基本思想也是转化、化归.实施转化时，可注意类比、借鉴求数列极限的一些方法与技能.3.求导数有两种方法：一是利用导数定义；二是利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导，常用后一种方法.极限、导数解答题的解法应试策略4.要重视导数在研究函数问题或实际问题时的应用.(1)求可导函数单调区间的方法：确定函数f(x)的定义域;求方程f(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间；研究各小区间上f(x)的符号，f(x)0时，该区间为增区间，反之则为减区间.应试策略极限、导数解答题的解法(2)求函数极值点时，可能出现极值的点是f(x)=0或使f(x)不存在的点，注意f(x)=0不是有极值的充分条件.(3)连续函数在闭区间上必有最值，求最值时不要忘记极值与端点处的函数值的大小比较.(4)解最值应用题时，要认真审题，分析各量的关系，列出函数y=f(x), 并确定定义域，然后按照步骤求函数的最值，最后根据实际意义作答.若f(x)在定义域区间上只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点.应试策略极限、导数解答题的解法考 题 剖 析考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法2.设首项为1，公比为q(q0)的等比数列的前n项和为Sn, 又Tn= , n=1,2,3，求 Tn.考题剖析极限、导数解答题的解法解析当q=1时，Sn=n,Tn= , Tn=1.当q1时，Sn= ,Tn= ,当0q1时， qn=0, Tn=1.当q1时， Tn=综上所述， Tn=考题剖析极限、导数解答题的解法点评本题考查了等比数列前n项和及数列极限的求法，考查了分类与整合的思想方法.等比数列求和公式限制在q1的条件下，此题没有指出q1，故要对q进行讨论，在求 Tn时，必须求 qn, 只有当|q|1时有极限，而此题q0，故需对q进行讨论.考题剖析极限、导数解答题的解法3. (1)已知 ( n)=b,求a,b的值； (2)已知 = n, 求m,n的值.解析(1)原式= = 当且仅当a=3时，有极限，b= ,故所求a，b的值为a=3，b= .考题剖析极限、导数解答题的解法(2) = n.可知x2+mx+2是含x+2的因式.x=2是方程x2+mx+2=0的根，代入求得m=3, n=1.点评本例是求极限的逆思维，思路新颖，方法灵活.考题剖析极限、导数解答题的解法4.（2007湖南张家界质检题）设a0，f(x)=x1ln2 x2alnx（x0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0,）内的单调性并求 极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1.解析（）根据求导法则有f(x)=1 ，x0，故F(x)=xf(x)=x2lnx+2a，x0，于是F(x)=1 ，x0. 列表如下：故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，+)内是增函数，所以，在x=2处取得极小值F(2)=22ln2+2a.x(0,2)2(2,+) F(x)0+ F(x)极小值F(2)考题剖析极限、导数解答题的解法（）证明：由a0知，F(x)的极小值F(2)=22ln2+2a0.于是由上表知，对一切x(0，+)，恒有F(x)=x , f(x)0.从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，+)内单调增加.所以当x1时，f(x)f(1)=0，即x1ln2x+2alnx0.故当x1时，恒有xln2x2alnx+1.点评本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力.考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法考题剖析极限、导数解答题的解法点评：本题涉及到了导数公式的逆向考 查，这就要求在平时的教学中要注重逆向 思维的培养，另外本题还考查了对称、求 范围这些高中数学的重点与难点。考纲 要求“掌握利用导数求极值和最值，同 时还要了解导数与原函数的关系”。考题剖析极限、导数解答题的解法6.已知函数f(x)=ax3+bx23x, 其图象在横坐标为1的两点处的切线均与x轴平行.（1）求函数f(x)的解析式；（2）对于区间1，1上任意两个自变量的值x1, x2，都有|f(x1)f(x2)|k，试求k的最小值；（3）若过点A（1，m）（m2）可且仅可作曲线y=f(x)的一条切线，求实数m的取值范围. 考题剖析极限、导数解答题的解法解析(1) f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0即 解得a=1,b=0. f(x)=x33x. （2）f(x)=x33x, f(x)=3x23=3(x+1)(x1)当 1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1,1上为减函数，f(x)max=f(1)=2, f(x)min=f(1)=2对于区间1，1上任意两个自变量的值x1, x2都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|2(2)=4. 即 |f(x1)f(x2)|max=4.k4 k的最小值为4 .考题剖析极限、导数解答题的解法（3）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0, y0），则点M的坐标满足y0=x303x0因f(x0)=3(x201)，故切线的斜率为k=3(x201)=kAM=整理得2x303x20+m+3=0（*注：也可以先写出切线方程，然后将点A的坐标代入得到左式）过点A（1，m）仅可作曲线的一条切线，关于x0方程2x303x20+m+3=0有且仅有一个实根.考题剖析极限、导数解答题的解法设g(x0 ) = 2x303x20+m+3，则g(x0 ) = 6x206x0，令g(x0)0得x01或x00, 令g(x0)0得0x01函数g(x0 ) = 2x303x20+m+3在区间(，0)和(1，+)为增函数，在(0，1)上为减函数，g(x0)的极大、极小值点分别为x0=0, x0=1g(x)不是单调函数，关于x0方程2x303x20+m+3 = 0有且仅有一个实根的充要条件是：g(x)极大=g(0)=m+30,m3或g(x)极小=g(1)=2+m0, m2故所求的实数a的取值范围是m|m3或m2点评只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题.解决这类问题的关键是等价变形.考题剖析极限、导数解答题的解法7.（2007成都市质检二）已知函数f(x)= (mR, e=2.718 28是自然对数的底数）.（）求函数f(x)的极值；（）当x0时，设f(x)的反函数为f 1(x), 对0pq,试比较 f (qp)、f1(qp)及f1(q)f1(p)的大小.解析（）当x0时，f(x)=ex1在(0,+)上单调递增，且f(x)=ex10；当x0时，f(x)= x3+mx2，此时f(x)=x2+2mx=x(x+2m).考题剖析极限、导数解答题的解法（1）若m=0时，f(x)=x20, 则f(x)= x3在(,0上单调递增，且f(x)= x30.又f(0)=0，可知函数f(x)在R上单调递增，无极值.（2）当m0，令f(x)=x(x+2m)0x0或x2m.（舍去）函数f(x)= x3+mx2在(,0上单调递增，同理，函数f(x)在R上单调递减，无极值. 考题剖析极限、导数解答题的解法（3）若m0, 令f(x)=x(x+2m)0 x0或x2m.函数f(x)= x3+mx2在(,2m上单调递增，在（2m，0上单调递减.此时函数f(x)在x=2m处取得极大值：f(2m)= m3+4m3= m30；又f(