线性规划复习课1、已知x,y满足条件： x-y+30 x+y-502x-y-40x 0 y 0 求z=x+2y的最大值。 解：画出满足x,y的条件 所表示的区域，即五边 形OABCD（如图） z=x+2yy = +xz 22DA1234512345OBC其表示斜率为的一组平行直线系，纵截距为b=z/2。 从图上可知：当直线经过c时，b有最大值。 x-y+3=0 x=1 x+y-5=0 y=4 c(1,4) 当x=1,y=4时，Zmax=9约束条件 线性约束条件目标函数 线性目标函数最优 解一、练习引入,复习概念可行域 可行解二、错解分析,说明理由 1、画出不等式（组）表示的平面区域： y2x+1 4x-3y9 x+2y4 yoxy=2x+1x+2y=4112233-1-2说明：划分区域时，找好特殊点，注意不等号。xo123-1-2-3y4x-3y=92、咖啡屋配制两种饮料，成分配比和单价如下表： 饮料奶粉（杯 ）咖啡（杯 ）糖（杯）价格（杯 ） 甲种9(g)4(g)3(g)0.7（元）乙种4(g)5(g)10(g)1.2（元）每天使用限额为奶粉3600g,咖啡 2000g,糖3000g，若每天在原料的使 用限额内饮料能全部售出，应配制两 种饮料各多少杯获利最大？解：设每天配制甲种饮料x 杯，乙种y杯，则线性约束条件 为： 9x+4y3600 4x+5y20003x+10y3000 画出可行域（阴影部分） ，即五边形ABCDO9x+4y=36003x+10y=30004x+5y=2000OABCD200200目标函数z=0.7x+1.2y y=- x+ z从图可知：当直线 l 过B点时，y轴截距最大，即z最大。9x+4y=3600 x= B( , )4x+5y=2000 y= 当x= ，y= 时，Zmax= 0.7x+1.2y=390.3 元1000 291000 293600 293600 297 1210 121000 293600 29l9x+4y=36003x+10y=30004x+5y=2000OABCD200200正确答案：1）线性约束条件为： 9x+4y3600 4x+5y2000 3x+10y3000 xN yN当 l 过点C时，y轴截距b最大，即z最大当x=200，y=240时，Zmax=0.7200+1.2240=428（元）答：每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯时，获 利最大。3x+10y=3000 y=240解 4x+5y=2000 得 x=200 C(200,240)y=240l说明：约束条件要写全，求解过程要细心 ，解题格式要规范。z=0.7x+1.2y y= - x+ z7 1210 12目标函数：yx3、已知函数f(x)=ax2-c，满足-4f(1)-1,-1f(2)5,求f(3)的取值范围。 -4f(1)-1 -4a-c-1 0a3 -1f(2)5 -14a-c5 1c7解：依题意：而所求f(3)=9a-c 09a27-7-c-1-1f(3)28-79a-c28正解 ： 线性约束条件 ： 目标函数: t=f(3)=9a-c-4a-c-1 -14a-c5 作出约束条件的可行域：为 平行四边形ABCD， 平行直线系t=9a-c , c=9a-t，斜率为9 。ac224646-2-28-4-4o说明：约束条件变化时要用等价变换DABC(3,7)当平行直线过A（0，1）时，tmin=90-1=-1过点C（3，7）时，tmax=93-7=20-1f(3)20三、例题选讲,探究解法 问z在哪一点处取得最大(小)值？最值为多少 ？2x+y-20 x-2y+40 3x-y-30yx o11 -1-1-22323-2-3-3B(2,3 )AC3x-y-3=0 x-2y+4=02x+y-2=0设目标函数：t=(x+1)2+y2，是以O(-1,0)为圆心， 为半径的圆。 t把t视作圆(x+1)2+y2 =（ ）2的 半径，即在可行域内求半径的最值 。t分析：z=(x+1)2+y2 1, 令t=z+1,易得：过O点且垂直于AC的方程为：x-2y+1=0, x=3/5,y=4/5时，tmin=16/5 ; x=2,y=3时，tmax=18 由z=t-1得： zmin=11/5 ; zmax=17解：画出可行域ABC（阴影部分）从图可得：在可行域内，O到AC的距离是 的最小值， O 到B的距离是 的最大值，即得z的最值.t t得垂足D(3/5,4/5)x-2y+1=0由 2x+y-2=0 O D（3/5，4/5 ）函数z=x2+y2 + 2x，1、已知：平面区域2、有一批同规划钢条，有两种切割方式，可截成长度为a的2根 ，长度为b的3根，或截成长度为a的3根，长度为b的1根。现需2根a长与1根b长配成一套，问按两种切割方式进行 切割应满足的比例是多少？如果长度为a的至少需50根，长度为b的至少需45根，问如 何切割可使钢条用量最省？2X+3Y3x+y =12由 ：P=YX求得41=目标函数:P=YX解：设第一种切割方式需x根，第二种切割方式需y根则1）约束条件组：Y N 2X+3Y3x+y =12x N 规格第一种x根第二种y根总计要求 a2x3y2x+3y2:1b3xy3x+y分析：3x+y=4515302x+3y=50yx15453045A由 2x+3y=50 3x+y=45X=85 /7 Y=60/7A(85/7,60/7), tmin =x+y=145/7 分析：a长度的总数要不少于50根 ，b长度的总数不少于45根，其目标 函数为t=x+y，求其最小值。可行域为如图阴影部分解：线性约束条件组：x0 y0 2x+3y50 3x+y45O线性目标函数：t=x+y ， y=x-t 由图：当直线系y=x-t移到A点时，纵截距最大，即t最小 。所求钢条数是整数，故所求x,y为整数。即找可行域内的整数点。 用平行找解法, l 向右上方平移，在可行域中最先经过整数点(12,9),(13,8)，此时t=21, 即为最小值。由tmin= 145/7 ，当t=21（为什么不取不足近似值?）时 ，平行直线经过可行域且与x+y=20最靠近。 不定方程：x+y=21 满足约束条件组的整数解为 x=12 或 x=13y=9 y=8法二：调整优值法 当过点B(12,9),C(13,8)时 t=21, 即为最小值。答：应满足第一种切割与第二种切割之比为4：1。当第一种切割为12根，第二种切割9根或第一种切割为13根，第二种切割为8根时，钢条用量为21最省。 四、课堂小结1、通过例题更清楚地理解了线性规划相关概念。 2、正确作图，充分应用数形结合思想解题。 3、求解目标函数时，一定要找到几何支撑点。 4、作业要严谨细致，严格规范。 五、作业：课课练：P67 2，6，P69 2，31012141618610128(85/7,60/7)A3x+y=45O1530 2x+3y=50yx15453045AB(12,9)C(13,8)1c7原因：当约束条件变化为 0a3 时,可行域范围变大，当过(3,1)时，tmax=93-1=28得：当过(0,7)时，tmin=90-7=-7显然，当直线系C=9a-t在上述可行域中变化时，ac224646-2 -28-4-4oC(3,7)ABD9x+4y=36003x+10y=30004x+5y=2000OABCD20020060010006001000lyx