第五章 微分方程模型5.1 传染病模型5.2 经济增长模型5.3 正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排除5.5 香烟过滤嘴的作用5.6 人口预测和控制5.7 烟雾的扩散与消失5.8 万有引力定律的发现动态 模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分 方程 建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程5.1 传染病模型问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触( 足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病建模 日 接触率SI 模型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻 (日接触率) tmLogistic 模型病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大模型3传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS 模型3）病人每天治愈的比例为 日治愈率建模 日接触率1/ 感染期 一个感染期内每个病人的 有效接触人数，称为接触数。模型3i0i0接触数 =1 阈值感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至0P2: s0 03) 经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt03) 经济增长的条件5.3 正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)f, g 取决于战争类型x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力模型 假设模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员 假设没有增援f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀伤率a=ry py, ry 射击率， py 命中率0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系平方律 模型乙方胜游击战争模型双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员 假设没有增援f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率c = ry pyry射击率py 命中率py=sry /sxsx 甲方活动面积 sry 乙方射击有效面积0游击战争模型线性律 模型0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)5.4 药物在体内的分布与排除 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量 ) 血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计 药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学 建立房室模型药物动力学的基本步骤 房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)中心室周边室给药排除模型假设 中心室(1)和周边室(2),容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率 ，与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室，在二室间 相互转移,从中心室排出体外模型建立线性常系数 非齐次方程对应齐次 方程通解模型建立几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0 瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血 药浓度立即为D0/V1给药速率 f0(t) 和初始条件2.恒速静脉滴注t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt 吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)参数估计各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)由较大的 用最小二乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,参数估计进入中心室的药物全部排除 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。模型 分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。问题5.5 香烟过滤嘴的作用模型 假设定性分析1）l1烟草长， l2过滤嘴长， l = l1+ l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿 行的数量比是a:a, a+a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的 毒物的(单位时间)吸收率分别是b和4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃 烧速度是常数u， v uQ 吸一支烟毒物进入人体总量模 型 建 立0t=0, x=0，点燃香烟q(x,t) 毒物流量w(x,t) 毒物密度1) 求q(x,0)=q(x)t时刻，香烟燃至 x=ut1) 求q(x,0)=q(x)2) 求q(l,t)3) 求w(ut,t)4) 计算 Q结果 分析烟草为什么有作用?1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量2) 过滤嘴因素，, l2 负指数作用是毒物集中在x=l1 处的吸入量3）(r) 烟草的吸收作用b, l1 线性作用带过滤嘴不带过滤嘴结果 分析4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉提高 -b 与加长l2，效果相同5.6 人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口 发展 方程人口发展方程一阶偏微分方程人口发展方程已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）0tr生育率的分解总和生育率h生育模式0人口发展方程和生育率总和生育率控制生育的多少生育模式控制生育的早晚和疏密 正反馈系统 滞后作用很大人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制 N(t)不过大控制 (t)不过高5.7 烟雾的扩散与消失现象 和 问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形 不透光区域。不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮 ，区域缩小，最后烟雾消失。建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失 时间与各因素的关系。问题 分析无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏 微分方程描述烟雾浓度的变化。观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪 器对明暗的灵敏程度有关。模型 假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 模型 建立1）烟雾浓度 的变化规律热传导定律：单位时间通过单位法 向面积的流量与浓度梯度成正比 曲面积分的奥氏公式1）烟雾浓度 的变化规律初始条件Q炮弹释放的烟雾总量 单位强度的点源函数 对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 仅当 t, 对任意点(x,y,z), C01）烟雾浓度 的变化规律2）穿过烟雾光强的变化规律光强的减少与烟 雾浓度成正比3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限烟雾浓度连续变化烟雾中光强连续变化仪器z-设光源在z=-, 仪器在z=,则观测到的明暗界限为不透光区域有扩大、 缩小、消失的过程穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之 分，明暗界限由仪器灵敏度决定。不透光区域边界4）不透光区域边界的变化规律对任意t, 不透光区域边界是圆周不透光区域 边界半径r(t)rm0t1t2t结果分析观测到不透光区域边界达到最大的 时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t25.8 万有引力定律的发现背景航海业发展天文观测精确“地心说”动摇哥白尼：“日心说”伽里略：落体运动开普勒：行星运动三定律变速运动的计算方法牛顿：一切运动有力学原因牛顿运动三定律牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）开普勒三定律牛顿运动第二定律万有引力定律自然科学之数学原理(1687)模型假设极坐标系 (r,)太阳 (0,0)1. 行星轨道a长半轴, b短 半轴, e离心率3. 行星运行周期 T行星位置：向径O (太阳 )P (行星 )r2. 单位时间 扫过面积为常数 Am 行星质量 绝对常数4. 行星运行受力 模型建立O (太阳 )P (行星 )r向径 的基向量模型建立万有引力定律需证明 4A2/p =kM（与哪一颗行星无关）A单位时间 扫过面积O (太阳 )P (行星 )r(习题)p/22=pA