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第五章 常微分方程数值解法 (Numerical Methods for Ordinary Differential Equations)引言引言 考虑一阶常微分方程的初值问题 (Initial-Value Problem ):只要 f (x, y) 在x a, b 上连续,且关于 y 满足 Lipschitz 条件,即存在与 x, y 无关的常数 L 使对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立,则上 述常微分方程存在唯一解。引言数值解法就是要计算出解函数 y(x) 在一系 列节点 a = x0 y1 y1 y2 y2 yn yn计算顺序:q (P170)例1:取h=0.1,分别用显式Euler法、隐式 Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题 计算过程见P170 解:用预测校正系统求解,有: y0=1p阶精度若某算法的局部截断误差e(h)满足: e(h)= O(hp+1),即有: e(h)/ hp+1=c(常数), 则称该算法有p 阶精度。定义 欧拉法的局部截断误差:欧拉法具有 1 阶精度。显式:隐式:梯形公式 (trapezoid formula)注:的确有局部截断误差 ,即梯形公式具有2 阶精度,比欧拉方法有了进 步。但注意到该公式是隐式公式。从显式、隐式Euler法和Euler局部截断误 差来看似乎可以有如下式子梯形公式:隐式Euler显式Euler基于数值积分的求解思想求出 积分的近似表达,也就求出了y(xk) hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk) f(xk-1,yk-1)基于数值积分的求解思想用矩形求积公式代替hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk) f(xk-1,yk-1)左矩形显式Euler公式右矩形隐式Euler公式基于数值积分的求解思想用梯形求积公式代替hxkxf(x,y)f(x,y)xk-1f(xk,yk) f(xk-1,yk-1)注:梯形公式是隐式公式显式、隐式Euler的平均梯形公式具有2阶精度余项方 法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式计算简单精度低 稳定性好精度低, 计算不便 精度提高计算不便Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages?Let me try!Euler公式及梯形公式总结改进的Euler法预测校正系统 ( modified Eulers method)注:可以证明该算法具有 2 阶精度,同时可以看到 它是个单步递推格式,比隐式公式的迭代求解 过程简单。它的稳定性高于显式欧拉法。误差比较:梯形法改进Euler法 yk应用simpson求积公式:Simpson公式4阶精度P198 习题6用Euler法和改进的Euler法解方程,h0.1注意改题目为0 y1取n=2 计算K1, K2, K3, = y2取n=3 计算K1, K2, K3, = y3n12 K1 K2 K3 y1列表计算四阶龙格 - 库塔法(经典R-K法) /* Classical Runge-Kutta Method */ e(h)=O(h5 ) 4阶精度优缺点: 优点是:(1)都是一步法,因此只要给定一个初始值就可以一直计算下去;(2)精度相对较高,如经典R-K法为四阶精度 缺点是:(特别是三阶和四阶法)计算量较大。其他问题讨论: (1)R-K法推导基于Taylor展式,因而要求y(x)有较好的 光滑性(即有高阶导数)。 (2)最常用的是四阶公式,它适用于一般的问题,准确 、稳定、易于编程。 (3)步长h减小,局部误差O(h5)减小但步数增加,舍入误差积累增加h要适当, 总误差才最小四阶龙格 - 库塔法(经典R-K法) /* Classical Runge-Kutta Method */ q P180 例:取h=0.1,用三阶、四阶R-K法求解初值问题 解:用三阶R-K法取n=1 计算K1, K2, K3, K4 = y1 取n=2 计算K1, K2, K3, K4 = y2 取n=3 计算K1, K2, K3, K4 = y3n1 K1 K2 K3 K4 y1列表计算q 例:取h=0.2,用四阶龙格库塔法求解初值问题 举例解:这里 ,经典的四阶龙格-库塔公式为举例表中列出了计算结果,同时列出了相应的精确解.比较本章第一个例子的计算结果,显然龙格-库塔方法的精度高. 名称RK4(A,B,Y0,H) 存储:K1K4 xk-4,xk增加内部节点: xk-1, xk-2, xk-3 , xk-4 原来的外部节点 积分区间的内部节点 方程形式变化:闭型求解Milne公式推导:(1) 取xk-1, xk-2, xk-3 , xk-4 为节点作三次Newton前插公式 代替f(x, y(x):f(x, y(x)= N3(x)+R4(x)(2) xxk-4+th 则 xxk-4,xk时,t 0,4 作x-t替换(3) 计算积分及误差截断误差:4阶精度Milne公式闭型求解公式Milne公式不能直接使用,一般是首先用四阶RK 法求出前几个节点的值,然后使用Milne公式求解。前面知道Simpson公式(四阶精度)是隐式积分公 式,所以利用Milne公式,可以得到如下的精度为四 阶的预测校正系统。解: (1) 用三阶R-K法求y(0.4) 的值q P187例:分别用三阶Adams显式公式和Milne公 式计算下面的初值 问题的解y(x)在0.6和0.8处的值, h0.2,已知y1=0.181。解: (1) 用三阶R-K法求y(0.4) 的值q P187例:分别用三阶Adams显式公式和Milne公 式计算下面的初值 问题的解y(x)在0.6和0.8处的值, h0.2,已知y1=0.181。(2) 将0、0.2、0.4处的值代入三阶显式Adams公式计算y(0.6)(3) 将0、0.2、0.4、0.6处的值代入Milne公式计算y(0.8)计算过程 见P187第五章 常微分方程数值解法线性多步法( Multistep Method )P198 习题15(第三版)P200 习题16(第二版)第五章 常微分方程数值解法欧拉方法( Eulers Method )q 例:用改进的Euler法推出Yn和Xn的关系表达 式,并与准确解析式作比较举例补充:导出改进Euler公式的解表达并与解:其中 为Euler算出Euler公式 :第五章 常微分方程数值解法龙格库塔法(RungeKutta Method )q 例:用四阶R-K法求解初值问题 举例解:举例举例举例q 例:用四阶Adams求解初值问题 举例解:举例第五章 常微分方程数值解法线性多步法( Multistep Method )
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