知识体系 圆基本性质直线与圆的 位置关系圆与圆的 位置关系概 念对 称 性垂 径 定 理圆心角、 弧、弦之 间的关系 定理圆周角与 圆心角的 关系切 线 的 性 质切 线 的 判 定切 线 的 作 图弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算正多边形 和圆位 置 分 类性 质公 切 线 的 作 图关 系 定 理有 关 计 算圆的有关性质圆的定义（运动观点）l在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。l固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆 ，记作O，读作“圆O”圆的定义辨析篮球是圆吗？ 圆必须在一个平面内 以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 圆是“圆周”还是“圆面”？圆是一条封闭曲线 圆周上的点与圆心有什么关系？圆的定义（集合观点）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；到定点的距离等于定长的点都在圆上。l一个圆把平面内的所有 点分成了多少类？l你能模仿圆的集合定义 思想，说说什么是圆的 内部和圆的外部吗？点与圆的位置关系 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则：点在圆上 d=r点在圆内 dr与圆有关的概念弦和直径 什么是弦？什么是直径？ 直径是弦吗？弦是直径吗？ 弧与半圆 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ 弧分成哪几类？ 半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 弓形是什么？ 同心圆、同圆、等圆和等弧 怎样的两个圆叫同心圆？ 怎样的两个圆叫等圆？ 同圆和等圆有什么性质？ 什么叫等弧？点的轨迹把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件 的点的轨迹。 图形上的任何一点都符合条件； 符合条件的任何一点都在图形上。 圆是什么点的轨迹？ 垂直平分线是什么点的轨迹？ 角平分线是什么点的轨迹？圆的有关性质 过三点的圆思考思考：确定一条直线的条件是什么？类比联想类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？讨论讨论：经过一个点，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？C90ABC是锐角三角形ABC是钝角三角形垂直于弦的直径及其推论想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两 侧半圆会有什么关系？性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在 的直线都是它的对称轴。观察右图，有什么等量关系？垂直于垂直于 弦的直弦的直 径径AO=BO=CO=DO， 弧AD弧BC，弧AC 弧BD。AO=BO=CO=DO， 弧AD弧BC=弧AC 弧BD。AO=BO=CO=DO，弧 AD弧BD，弧AC 弧BC, AEBE 。垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（ 直径，垂直于弦）缺一不可 ！OABE若圆心到弦的距离用d表示， 半径用r表示，弦长用a表示， 这三者之间有怎样的关系？变式变式1 1：AC、BD有什么关系？变式变式2 2：ACBD依然成 立吗？变式变式3 3：EA_, EC=_。FDFB变式变式4 4：_ AC=BD.OA=OB变式变式5 5：_ AC=BD.OC=OD如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2， PO5，求O的半径。MA PBO关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦的垂线段 ，这是一条非常重要的 辅助线。圆心到弦的距离、半径 、弦长构成直角三角形 ，便将问题转化为直角 三角形的问题。画图叙述垂径定理，并说出 定理的题设和结论。 题设结论直线CD经过圆心O直线CD垂直弦AB直线CD平分弦AB 直线CD平分弧ACB 直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和 结论中的5个条件适当互 换，情况会怎样？ （1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。如图，CD为O的直径，ABCD，EFCD， 你能得到什么结论？弧弧AEAE弧弧BFBF圆的两条平行弦所夹的弧相等。FOBAECD圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系圆的性质圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与 原来的图形重合。圆心角圆心角：顶点在圆心的角。（如：AOB）C弦心距弦心距：从圆心到弦的距离。（如：OC） OAB如图，AOBAOB，OCAB， OCAB。猜想：弧AB与弧AB，AB与AB， OC与OC之间的关系，并证明你的猜想 。定理 相等的圆心角所对的弧相等 ，所对的弦相等，所对的弦 的弦心距相等。在同圆或等圆中， OABCABC圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。推论推论在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。题设题设结论结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）1圆心角1弧CDn圆心角n弧把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成360360份时，每一份的份时，每一份的 圆心角是圆心角是11的角。的角。11的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做 11的弧。的弧。圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。一般地，一般地，nn的圆心角的圆心角 对着对着nn的弧。的弧。圆周角CDF圆心角：如BOA圆内角：如BCA圆周角：如BDA圆外角：如BFA角的顶点 在圆心角的顶点在圆周上 是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?圆周角：圆周角：顶点在圆上顶点在圆上，并且，并且两边都和圆相两边都和圆相 交交的角。的角。圆心角圆心角: : 顶点在圆心顶点在圆心的角的角. .画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角 之间可能出现哪几种不同的位置关系?回顾：圆心角等于它所对的弧的度数的一半。 猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角，它们之 间有什么关系？一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半的圆心角的一半化 归化 归圆周角定理圆周角定理分类讨论完全归纳法1、已知AOB75，求 ： ACB2、已知AOB120， 求： ACB3、已知ACD30，求： AOB4、已知AOB110，求 ： ACB推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二 倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。l弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？l什么时候圆周角是直角？反过来呢？l直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？OBADEC如图，比较ACB、ADB、AEB 的大小同弧所对的圆 周角相等如图，如果弧AB弧CD，那么E 和F是什么关系？反过来呢？ DCEBFA O等弧所对的圆周角相等； 在同圆中，相等的圆周角 所对的弧也相等DCEO1BFA O2如图，O1和O2是等圆， 如果弧AB弧CD，那么E 和F是什么关系？反过来 呢？等圆也成立推论1同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。FED关于等积式的证明如图，已知AB是O的弦，半径OPAB，弦PD交AB于C，求证：PA2 PCPDCDPBAO经验： 证明等积式，通常利 用相似； 找角相等，要有找同 弧或等弧所对的圆周角 的意识；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是90； 90的圆周角所对的弦是直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。l什么时候圆周角是直角？反 过来呢？l直角三角形斜边中线有什么 性质？反过来呢？已知：点已知：点OO是是ABCABC的外心，的外心， BOCBOC130130 ，求，求A A的度数。的度数。直线和圆的位置关系重点内容直线和圆的位置关系位置关系相交相切相离公共点个 数 d与r的关 系 公共点名 称直线名称2个1个无drdrdr交点切点割线切线有且仅有注意：“”， 即“等价于”熟记直线和圆的位置关系 d与r的关 系位置关 系交点个 数图形2个1个无drdrdr相交相离相切熟记切线的判定重点内容判断一条直线是不是圆的切线 使用定义：直线和圆有唯一的公共点 圆心到直线的距离d等于半径r时，直线和圆相切说说看：以上两 种判断办法是否 方便应用呢？l操作：画O，在O上 任取一点A，连结OA，过 A点作直线lOAl直线l是否与O相切呢？l从作图过程看，这条切线l满足哪些条件？l 经过半径外端l垂直于这条半径穷则思变切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。已知：直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB。求证：直 线AB是O的切线。OCBAl已知： OAOB5厘米，AB 8厘米，O的直径6厘米。求 证：AB与O相切。以上两题辅助线的作法是否相 同？你分析出了什么结论？辅助线技巧证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明直线与半径垂直 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂线，再证明圆心到直线的距离 等于半径。OBA练兵切线判定的方法 利用切线定义 利用圆心到直线的距离等于半径 利用切线判断定理辅助线技巧： 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明 直线与半径垂直 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂 线，再证明圆心到直线的距离等于半径。Review切线的性质重点内容切线判定：直线l：过半径外端垂直于半径切线性质：切线l，A为切点：OAl理解记忆类比猜想切线的性质定理：圆的切线垂 直于经过切点的半径。推论： 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线判定与性质典型例题已知：AB是O的直径，BC是O的切线 ，切点为B，OC平行于弦AD。 求证：DC是O的切线。体会规律l如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB和CD相等， 且AB与小圆相切于点E，求证： CD与小圆相切。DCOBAFDCBAEO切线性质定理的推广性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心浓缩提炼你能用一个定理把圆的切 线的性质及它的两个推论 概括出来吗？如果一条直线具备下列三个条件中 的任意两个，就可以推出第三个： （1）垂直于切线；（2）过切点； （3）过圆心。切线的判定和性质判定切线的三种方法： 和圆只有一个