第 1 页（共 30 页）2018 年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2，B=x|2x1，则 AB=（ ）Ax|0x2Bx|1x2Cx|x0Dx|x22 （5 分）已知，其中 i 为虚数单位，aR，则 a=（ ）A1B1C2D23 （5 分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前 n 项和若a1+a3=5，a1a3=4，则 S6=（ ）A31B32C63D644 （5 分）如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） 设直角三角形有一内角为 30，若向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒（大小忽略不计） ，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A134 B866 C300 D5005 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f（x）=x2x，则不等式 f（x）0 的解集用区间表示为（ ）第 2 页（共 30 页）A （1，1）B （，1）（1，+） C （，1）（0，1）D （1，0）（1，+）6 （5 分） （1+xx2）10展开式中 x3的系数为（ ）A10B30C45D2107 （5 分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为 1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A4B8C12 D168 （5 分）已知x表示不超过 x 的最大整数，如0.5=0，1=1，2.4=2执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）A450 B460 C495 D5509 （5 分）已知函数（m，n 为整数）的图象如图所示，则 m，n的值可能为（ ）第 3 页（共 30 页）Am=2，n=1Bm=2，n=1Cm=1，n=1Dm=1，n=110 （5 分）已知 f（x）=cosx， （0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单调，则 的值为（ ）A1B2CD11 （5 分）已知抛物线和圆，直线 y=k（x1）与C1，C2依次相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4）四点（其中 x1x2x3x4） ，则|AB|CD|的值为（ ）A1B2CDk212 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1，分别交于三点 M，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）AB3CD4二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，E 为边 BC 的中点，则= 第 4 页（共 30 页）14 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 z=2x+y 的最大值为 15 （5 分）已知双曲线 E 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线 E 的离心率为 16 （5 分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第 i 行第 j 列的数则 112 在这“等差数阵”中出现的次数为 4710 a1j71217 a2j101724 a3jai1ai2 ai3 aij三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，点 D 在 AB 边上，且BCD 为锐角，CD=2，BCD 的面积为 4（1）求 cosBCD 的值；（2）求边 AC 的长18 （12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 为矩形，四边形 ABCD为梯形，ABCD，平面 CBE 与平面 BDE 垂直，且 CBBE（1）求证：ED平面 ABCD；第 5 页（共 30 页）（2）若 ABAD，AB=AD=1，且平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为，求 AF 的长19 （12 分）某协会对 A，B 两家服务机构进行满意度调查，在 A，B 两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了 1000 人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为 60 分整理评分数据，将分数以 10 为组距分成 6 组：0，10） ，10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50） ，50，60，得到 A 服务机构分数的频数分布表，B 服务机构分数的频率分布直方图：A 服务机构分数的频数分布表分数区间频数0，10）2010，20）3020，30）5030，40）15040，50）40050，60350第 6 页（共 30 页）定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数0，30）30，50）50，60满意度指数012（1）在抽样的 1000 人中，求对 B 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数；（2）从在 A，B 两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 B 服务机构评价的“满意度指数”比对 A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从 A，B 服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由20 （12 分）已知椭圆与直线 l：bxay=0 都经过点直线 m 与 l 平行，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 MA，MB与 x 轴分别交于 E，F 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）证明：MEF 为等腰三角形第 7 页（共 30 页）21 （12 分）已知函数 f（x）=lnx+a（x1）2（a0） （1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点 x0，证明：请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选选修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 =4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是（t 为参数） （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且，求直线的倾斜角 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲. 23已知函数 f（x）=|2x+1|x|+a，（1）若 a=1，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若方程 f（x）=2x 有三个不同的解，求 a 的取值范围第 8 页（共 30 页）2018 年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2，B=x|2x1，则 AB=（ ）Ax|0x2Bx|1x2Cx|x0Dx|x2【解答】解：B=x|2x1=x|x0，AB=x|0x2，故选：A2 （5 分）已知，其中 i 为虚数单位，aR，则 a=（ ）A1B1C2D2【解答】解：由，得 2=（1i） （a+i）=a+1+（1a）i，即 a=1故选：B3 （5 分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前 n 项和若第 9 页（共 30 页）a1+a3=5，a1a3=4，则 S6=（ ）A31B32C63D64【解答】解：设公比为 q，因为an是递增的等比数列，所以 q0anan1因为 a1+a3=a1+a1q2=5，且 a10，a30，又 a1a3=a22=4，所以得 a1=1，a2=2，a3=4，q=2，则 S6=（1q6）=q61=641=63故选 C4 （5 分）如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） 设直角三角形有一内角为 30，若向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒（大小忽略不计） ，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A134 B866 C300 D500【解答】解：设大正方形的边长为 2x，则小正方形的边长为x，向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒（大小忽略不计） ，设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 a，第 10 页（共 30 页）则，解得 a=1000（）134故选：A5 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f（x）=x2x，则不等式 f（x）0 的解集用区间表示为（ ）A （1，1）B （，1）（1，+） C （，1）（0，1）D （1，0）（1，+）【解答】解：根据题意，当 x0 时，f（x）=x2x，若 f（x）0，则有 x2x0，解可得 x1，即在（1，+）上，f（x）0，反之在（0，1）上，f（x）0，又由函数为奇函数，则在（0，1， ）上，f（x）0，在（，1）上，f（x）0，则不等式 f（x）0 的解集为（1，0）（1，+） ；故选：D6 （5 分） （1+xx2）10展开式中 x3的系数为（ ）A10B30C45D210第 11 页（共 30 页）【解答】解：（1+xx2）10=1+（xx2）10 的展开式的通项公式为Tr+1=（xx2）r对于（xx2）r，通项公式为 Tm+1=xrm （x2）m，令 r+m=3，根据 0mr，r、m 为自然数，求得，或（1+xx2）10展开式中 x3项的系数为=90+120=30故选：B7 （5 分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为 1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A4B8C12 D16【解答】解：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABCA1B1C1，其中ABC 是等腰直角三角形，AB=AC=2，ABAC，AA1平面 ABC，AA1=2，如图，该三棱柱外接球的半径 R=，第 12 页（共 30 页）该三棱柱外接球的表面积：S=4r2=4=12故选：C8 （5 分）已知x表示不超过 x 的最大整数，如0.5=0，1=1，2.4=2执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）A450 B460 C495 D550【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出 S=+的值，S=+=100+101+102+109+10=10+20+30+90+10=460第 13 页（共 30 页）故选：B9 （5 分）已知函