模糊综合评判模型结束教师讲课效果的 综合评判我们知道，对一个人某方面能力的评价往往是比较困难的。 结束1因为能力是一项模糊指标，很难量化。 譬如要评价某教师的讲 课效果，这是一个困难的问题。 因为学生的基础各不相同，喜 好各异，接受能力各有强弱，再加上教师的讲课风格各有千秋 ，这就更增加了评价的难度。 讲课的唯一对象是学生，因此，对讲课效果的评判人只能是 学生。 为了便于评价讲课效果，我们可以规定几个等级，称为 评判集合， 记作 V=很好，好，一般，不好 最简单的办法是让学生直接从V中选择一项对教师进行评判。 但是由于讲课效果是一个综合性指标，学生直接对其进行评判 不利于教师改进教学。 为了有利于教师改进教学，我们可以选 定体现讲课效果的若干具体指标， 譬如讲课的逻辑性，重点是 否突出，语言表达能力（包括条理性，语言是否生动，口齿是 否清楚）等三项指标。 规定对每一项指标每个学生必须从集合 V中选一项且只能选一项作为对教师的评判。结束2例如有若干学生对某个教师的实际评判结果是，对逻辑性， 有35%选很好，15%选好，没有人选一般，50%选不好。 则可以用 V上的模糊子集来表示对逻辑性指标的评判结果，简记为 1= (0.35,0.15,0.00,0.50) 如果必须明确作出一个评价，则可根据最优从属原则，由于 般不必作出此评判，而是保留 1的原样， 0.5最大，得出评判结果是：该教师讲课的逻辑性不好。 但是一 这样更能反映出评判 该教师讲课逻辑性的全貌。 这种对某一项指标或因素的评判， 称为单因素评判。 假设评判人对另外两个因素“突出重点”和“语言表达能力”的 评判结果是模糊子集2= (0.31,0.13,0.39,0.15) 和 3= (0.39,0.10,0.21,0.30)还应将 归一化，即按比例，使a1+a2+a3 =1， 结束3那么，我们怎样由这三个模糊子集来评判该教师的讲课效 呢？这就是模糊综合评判要解决的问题。 由于不同的人对各种因素的侧重不同，因此这三个因素在对 讲课效果的评判中所占的比重就不同。 为了反映这种情况，必 须确定一组权重。 设因素u1=逻辑性，u2=突出重点，u3=语言表达能力， 他们的 权重分别为a1 ,a2 ,a3， 则权重可以用因素集合U=u1, u2,u3上 的模糊子集 来表示， 可简记为向量 其中ai为ui属于U的从属度. =（a1,a2,a3） 记因素 ui 归一化的单因素评判集合为向量i=（ri1 , ri2 , ri3 , ri4） (i =1,2,3)结束4以所有向量 i为行构成单因素评判矩阵则综合评判的结果是模糊子集 = o其中 表示 与 的复合运算。o例如，若对上述因素u1,u2,u3的权重取为归一化向量 =（0.50 , 0.25 , 0.25） 则综合评判的结果是 = o = (0.50,0.25,0.25) o=（0.35 , 0.15 , 0.25 , 0.50）结束5归一化为 即综合评判的结果是：认为该教师讲课效果很好、好、一般 和不好的学生分别为28%、12%、20%和40%。 若该教师要改进教学效果，他应该着重改进三个因素中不好 的比例值与对应权重的乘积最大的那一项指标。 因为 0.50.5=0.25,0.250.15=0.0375,0.250.3=0.075, 其中0.25 最大， 所以该教师应该着重改进第一项指标，即讲课的逻辑性， 才能尽快提高教学效果。 一般，因素集U和评价集V的元素个数不宜相差太大，否则可 能影响综合评判的准确性。 如果取权重=（0.33 , 0.33 , 0.33） 则 = o = (0.33, 0.15, 0.33, 0.33) 归一化为 = (0.29, 0.13, 0.29, 0.29) 作为综合评判的结果，与前面的结果显然不同。这说明各因素 ，对该教师综合评判的结果为结束6的权重直接影响综合评判的结果。 而权重是评判的组织者根 据经验主观确定的，很难正确反映评判人心中真实的权重。 因 此，模糊综合评判最难的往往是权重的确定。 由评判的结果反推出权重，即已知 和 ，求 的问题称为 模糊综合评判的逆问题。 例如，已知学生对某教师单因素评判的矩阵为 （同前面的 ） = (0.33, 0.13, 0.24, 0.30) 求权重 的问题就是一个模糊综合评判的逆问题。为求 ,首先必须搞清楚是否存在 ，使得 o =（1） 即是否存在 ，使得 =（0.33, 0.13, 0.24, 0.30）（2）成立。 也就是说，要搞清楚方程（1）的解的存在性问题。 方 程（1）在模糊数学中称为模糊关系方程。 下面先就一般情况 说明模糊关系方程的解的存在性。 设 = (a1,a2,an) ,= (rij)nm ,= (b1,b2,bm)则方程(1)可表示为方程组 是(3)的解的充分必要条件是， 满足以下两个条件： 对于满足1in和1jm的任意i,j，都有airij= bj 对于满足1jm的任意j，都有集合 B( j ) = iairij= bj , 1in 结束70，0.13是闭区间。 这表明方程（2）有无穷多个解。 结束8这两个条件等价于下面两个条件： rij bj ai bj (1in , 1jm) 对于满足1jm的任意j，存在i （1in），使得 rij ai = bj 或 ai rij= bj=（0，0.13 , 0.24 , 0.33） 可以验证模糊子集 对于方程（2）满足条件和，所以 是(2)的解， 方程（2）求 的具体过程略。 其中 至于解 由于第一个权重a1可以取闭区间0，0.13中的任何值，右 =（0.13 , 0.24 , 0.33）端点已经比较接近零了，如果a1取一个比0.13还小的正数，那 就更接近于零，表示因素“逻辑性”的权重接近于零，这不符合 实际。因此我们取a1为0.13，即取 以 的归一化向量 =（0.19 , 0.34 , 0.47） 作为以后对教师讲 课效果进行综合评判的权重。 一般，这样的权重比完全由主观合评判就比较切合实际了。 使由 结束9愿望确定的权重要符合实际一些。以上是模糊关系方程的解存在的情形。 当解不存在时，如何 确定各因素的权重呢？这可由下例的方法近似确定。 例如对 = (0.00, 0.80, 0.20, 0.00) 可以验证，方程 o =的解不存在。 为此，我们可以由经验取定一个 *， * o = * 以 *作为 的近似权重进行综 求 *的具体方法如下: 出的 *与 的贴近度比较大， 但是又必须确定一个 权重. 算 首先根据经验取定几个权重的模糊子集为结束101= (0.20, 0.50, 0.30)， 2= (0.50, 0.30, 0.20)， 3= (0.20, 0.30, 0.50)， 4= (0.70, 0.25, 0.05)， 5= (1.00, 0.00, 0.00)， 计算出 1= 1o = (0.20, 0.40, 0.50, 0.10)2= 2 o = (0.20, 0.50, 0.50, 0.10)3= 3 o = (0.20, 0.30, 0.40, 0.10)4= 4 o = (0.20, 0.70, 0.25, 0.10)5= 5 o = (0.20, 0.40, 0.50, 0.10) 然后分别计算它们与 的贴近度( 1 , )= 1 + (1- 1 )= (0.4 +1- 0.1) = 0.65 ( 2 , ) = (0.5 +1- 0.1) = 0.7 ,( 3 , ) = (0.3 +1- 0.1) = 0.6( 4 , ) = (0.7 +1- 0.1) = 0.8 ,( 5 , ) = (0.7 +1- 0) = 0.85结束11由于 5比前4个集合与 的贴近度更大，所以可以取*= 5 = (1.00, 0.00, 0.00)作为综合评判的权重。 这只是在前面假设的 和 的前提下得出的结果， 这表明后两种因素可以去掉不用。 当然 一般情况下 不会得到这样极端的结果。 为使综合评判更全面，我们还可以在前述对教师讲课效果的 模糊综合评判中把因素u3= (语言表达能力)分成三种更细的因 素。譬如分成u31=条理性，u32=生动性，u33=清晰性。 先作出u31， u32，u33的单因素评判， 然后以它们的综合评判结果作为对u3的 单因素评判，再综合评判教师的讲课效果。 另外，也可以用u1，u2，u31，u32，u33这五个因素对教师讲课 效果做模糊综合评判，这样评判可能更精细，更全面， 其结果可 能与前面不同。 模糊综合评判也可以用于市场调查。结束12例如，某工厂生产花布，为了增加销售量，必须使花布尽量 适合广大顾客的喜好。 为此，厂长可以找一些顾客做市场调查 。当然，最简单的办法是让顾客从评价集合 V= 很喜欢，喜欢，不太喜欢，不喜欢中任选一项对样品的综合指标进行评判。但是这样不利于工厂 改进生产。 为了有利于工厂改进生产，我们可以分成多项指标 ，比如该花布的花色，手感，耐久度，价格等因素， 让顾客在 V上分别对该花布做单因素评判，然后做模糊综合评判。 如果综 合评判结果顾客对某花布不喜欢的比例过高，我们就淘汰该花 布； 如果不喜欢的比例不太高，我们可以首先改进对该花布不 喜欢比例与权重的乘积最高的那一个因素，使它更适合顾客的 要求， 再接受顾客的评判，再改进。 这样工厂就可以逐渐生产 出适销对路的花布，满足市场的需要。 其它商业企业也可以采用模糊综合评判，对销售的商品进行 结束13社会调查,确保始终经营顾客喜欢的商品,使自己立于不败之地. 结束14习题 有一个商场，对已销售的若干台电冰箱向用户做调查，以协 助生产厂家改进生产。 评价集合 V= 很满意，满意，不太满意，不满意 用户返回调查表后，经统计，对该冰箱的制冷效果、用电量、 外观、价格和噪音五个因素的评价模糊子集分别为1 = (0.10, 0.43, 0.30, 0.17)， 2 = (0.08, 0.20, 0.39, 0.33) 3 = (0.30, 0.52, 0.10, 0.08)， 5 = (0.10, 0.25, 0.30, 0.35) 4 = (0.04, 0.50, 0.29, 0.17) 根据以往多次调查的经验确定对五个因素的权重取为 = (0.28, 0.10, 0.25, 0.25, 0.12)， 求模糊综合评判的结果。 根据你的结果，可以做出怎样改进生 产的建议？