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一、高阶导数的定义二、高阶导数的求导法则三、小结 思考题第三节 高阶导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义(derivative of higher orders)记作三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、 高阶导数的求法法则例1解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解例3解注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并 ,分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳 法证明)例4解同理可得例5解2. 高阶导数的运算法则:莱布尼茨公式例6解3.间接法:常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.例7解例8解三、小结 思考题高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法; 2.间接法.思考题设 连续,且 ,求 .思考题解答可导不一定存在故用定义求练 习 题练习题答案三、随机时间序列模型的识别所谓随机时间序列模型的识别,就是对于一个平稳的随机时间序列,找出生成它的合适的随 机过程或模型,即判断该时间序列是遵循一纯 AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关函 数(autocorrelation function,ACF)及偏自相 关函数(partial autocorrelation function, PACF )。1、AR(p)过程 (1)自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1):Xt=Xt-1+ t 的k阶滞后自协方差为:=1,2,因此,AR(1)模型的自相关函数为: =1,2,由AR(1)的稳定性知|p,Xt 与Xt-k间的偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是:kp时, k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则:若Xt的偏自相关函数在p以后截尾,即kp时, k*=0,而它的自相关函数k是拖尾的,则此序列是自回归AR(p)序列。在实际识别时,由于样本偏自相关函数 rk*是总体偏自相关函数k*的一个估计,由于 样本的随机性,当kp时,rk*不会全为0,而 是在0的上下波动。但可以证明,当kp时,rk*服从如下渐近正态分布:rk*N(0,1/n)式中n表示样本容量。需指出的是,我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后截尾。因此,如果计算的rk*满足:对MA(1)过程:2、MA(q)过程 可容易地写出它的自协方差系数: 于是,MA(1)过程的自相关函数为:可见,当k1时,k0,即Xt与Xt-k不相关,MA(1)自相关函数是截尾的。 MA(1)过程可以等价地写成t关于无穷序列Xt ,Xt-1,的线性组合的形式:或:(*)(*)是一个AR()过程,它的偏自相关函数非截尾但却趋于零,因此MA(1)的偏自相关函数 是非截尾但却趋于零的。 注意:(*)式只有当|q时, Xt与Xt-k不相关,即存 在截尾现象,因此,当kq时, k=0是MA(q)的一个特征。于是:可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶。与MA(1)相仿,可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规则:若随机序列的自相 关函数截尾,即自q以后,k=0( kq);而它 的偏自相关函数是拖尾的,则此序列是滑动平均 MA(q)序列。同样需要注意的是:在实际识别时,由于样 本自相关函数rk是总体自相关函数k的一个估计 ,由于样本的随机性,当kq时,rk不会全为0, 而是在0的上下波动。但可以证明,当kq时,rk服从如下渐近正态分布:rkN(0,1/n) 式中n表示样本容量。因此,如果计算的rk满足:我们就有95.5%的把握判断原时间序列在q之后 截尾。ARMA(p,q)的自相关函数,可以看作 MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当p=0时,它具有截尾性质;当q=0时,它具有拖尾性质;当p、q都不为0时,它具有拖尾性质3、ARMA(p, q)过程 从识别上看,通常:ARMA(p,q)过程的偏自相关函数( PACF)可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱 (spikes),但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零;而它的自相关函数(ACF)则是在q阶 滞后前有几项明显的尖柱,从q阶滞后项开 始逐渐趋向于零。
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