Matlab统计工具箱一:统计工具箱简介 二:概率分布 三:参数估计 四:描述性统计 五:假设检验 六:统计绘图1一.matlab统计工具箱(statistics toolbox)简介统计学是处理数据的艺术和科学,通过收集,分析, 解释和表达数据来探索事物中蕴含的规律.随着科技水 平的迅猛发展,知识经济的时代来临,海量的数据需要人 们处理.matlab统计工具箱为人们提供了一个强有力的 统计分析工具.统计工具箱基于matlab数值计算环境,支持范围广泛 的统计计算任务.它包括200多个处理函数(m文件)主要 应用于以下几方面:21.1 统计工具箱的几大功能*概率分布 *参数估计 *描述性统计 *假设检验 *统计绘图 3统计工具箱提供了20种概率分布类型,其中包括离散型分布:(如binomial二项分布, 即n次贝努里试验中出现k次成功的概率.poisson 分布, 和 分布等).1.1.1概率分布-离散型41.1.2 概率分布连续型连续型分布 如正态分布F(x)=beta分布,uniform平均分布等.每种分布提供5类函数:1 概率密度 2 (累积)分布函数 3 逆累积分布函数 4 随机数产生器 5 均值和方差函数.51.1.3另外4大功能 *参数估计-依据原始数据计算参数估计值置信区域. *描述性统计-方差,期望等数字特征. *假设检验-提供最通用的假设检验函数t-检验,z-检验. *统计绘图- box图函数,正态概率图函数等.注意:统计工具箱中的说有函数都可用 type function_name语句查看其代码,也可进行修 改,从而变为己用,加入到工具箱中. 6二 概率分布随机变量的统计行为取决于其概率分布，而分布函数常用连续和 离散型分布。统计工具箱提供20种分布。每种分布有五类函数。1: 概率密度(pdf) ; 2: 累积分布函数(cdf); 3:逆累积分布函数 (icdf);4: 随机数产生器 5: 均值和方差函数；一：离散型概率密度函数:为观察到的特定值的概率。连续型概率密度函数定义为：如存在非负函数p(x) 0, 使对任意ba，X 在(a,b)上取值概率为pa0， xi0, 如果有不等式约束，则对含的约束，在左边加上一个非负变量使其成为 等式约束；对含的约束，在左边减去一个非负变量使其成为等式约束。 4.3.2 lp函数lp 功能 ：求解线性规划问题格式 ：x = lp(c,A,b) x = lp(c,A,b,vlb)x = lp(c,A,b,vlb,vub) % 设置解向量的上下界x = lp(c,A,b,vlb,vub,x0) % 设置初始解向量 x0x = lp(c,A,b,vlb,vub,x0,neqcstr) % 设置在约束中的等式约束的个数x,lambda,how = lp (c,A,b,) % 同时返回拉格朗日乘子51例子 求下面线性规划问题： 目标函数 ：f(x) = 5x1 4x2 6x3约束方程 ：x1-x2+x3203x1+2x2+4x3423x1+2x2300x1, 0x2, 0x3 第一步：输入系数c = -4,-5,-6 a = 1 1 13 2 43 2 0 ;b = 20 ; 42 ; 30 ;第二步 ：求解 x, lambda = lp ( c, a, b, zeros (3,1)解为： x = 0 15.0000 3.000 lambda = 0 1.5000 0.5000 1.0000 0 0 A 为约束方程系数矩阵 c 为目标方程系数b 为约束方程系数向量52例子： 求无约束非线性问题 f(x) = 100 ( x2 x12 )2 + (1 x1)2 初始解向量： x= -1.2 1 第一步：编写文件 function f = fun(x) f = 100*(x(2) x(1)2)2+(1 x(1)2; 第二步：求解 x = -1.2 , 1 x = fminu (fun, x)x = 1.0000 1.0000 fun(x) = 8.8348e-11 4.4 非线性规划 4.4.1 无约束规划 fminu, fmins 功能 ： 求解无约束非线性最优化问题格式 ： x = fminu ( fun , x0) % 求函数fun的最小值，并设置初始值向量为x0x = fminu ( fun , x0, options) % 可选参数在options向量中设置x = fminu ( fun , x0, options, grad)x = fminu ( fun , x0, options, grad , p1, p2, ) x, options = fminu ( fun, x0, ) = fmins ( fun, x0, )options(2)控制x的精度options(3)控制目标函数f的精度 53fmins 线性搜索算法的控制: 缺省 options(7)=0，使用一种二次和三次多项式 插值的混合算法options(7)=1时，使用三次多项式插值算法。 目标函数大于阶，一般用fminu函数；但对于非常不连续的函数则用fmuns 函数 4.4.2二次规划 4.4.3有约束规划fmin函数 标量最优求解标量最优问题的一般描述:目标函数： mina f(a)区域约束单变量问题: 目标函数：minaf(a)约束条件：a1a a2 fminu函数优化算法的控制：缺省options(6)=0 时，用拟牛顿方法options(6) = 1 时，用DFP公式来逼近Hessian矩阵options(6) = 2 时，用最速下降法54例子 ：求下面标量函数在(0,5)区间的最小值目标函数：f = (a-3)2 1 第一步： 编写M函数function f = fun(a)f = (a-3)2 1 ;第二步： 求解a = fmin (fun, 0,5)a = 3The value at the minimum isY= f(a)Y = 1 fmin 功能： 求解区域约束单变量问题。格式：a = fmin( fun, a1, a2 )a = fmin( fun, a1, a2, options )a = fmin( fun, a1, a2, options, p1, p2,.) a, options = fmin( function, a1, a2,)说明： options(2) 控制x的精度options(14)控制函数的计算次数 55constr 功能 ：多变量非线性约束最优问题求解格式 ：x =constr ( fun, x0 ) % 求解非线性约束最优化问题，初始向量为x0 x =constr ( fun, x0, options )x =constr ( fun, x0, options, vlb, vub, grad, ) % 设置解向量上下界x =constr ( fun, x0, options, vlb, vub, grad, p1, p2, ) x, options = constr (fun. X0, ) x, options, lambda = constr (fun, x0, ) x, options, lambda, hess = constr (fun, x0, )options(4)控制对约束的越限程度 3 constr函数多变量非线性约束最优化问题的一般描述 目标函数： minx f(x) 约束条件： G(x)0 56目标函数：f(x) = -x1*x2*x3 约束条件：-x1 2x2 2x30; x1+2x2+2x372 初始解向量：x = 10 10 10 第一步：编写M文件 function f , g = fun(x) f = -x(1)*x(2)*x(3) ; g(1) = -x(1) 2*x(2) 2*x(3) ; g(2) = x(1) + 2*x(2) + 2*x(3) 72 ;第二步：求解 x0 = 10, 10, 10 ; x = constr ( fun, x0 ) 经过次运算后，结果为 x = 24.0000 12.0000 12.0000 f, g = fun(x) f = 3.4560e+03 g = 72 0 例子574.5最小最大（minmax)问题 一般描述： 目标函数： 约束条件： G(x)0minimax 功能：求解最小最大问题格式：x = minimax( fun,x0) % 求解最小最大问题，初始解向量为 x0x = minimax( fun,x0 , options)x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub,grad)x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub, grad, p1, p2,)x,options = minimax( fun, x0,)minimax 功能：求解最小最大问题格式：x = minimax( fun,x0) % 求解最小最大问题，初始解向量为x0x = minimax( fun,x0 , options)x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub,grad)x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub, grad, p1, p2,)x,options = minimax( fun, x0,)58举例 : (1)求下述最小最大问题：f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x) 其中f1 = 2x12 + x22 48x1 40x2 + 304f2 = -x12 3x22f3 = x1 + 3x2 18 f4 = -x1 x2f5 = x1 + x2 8 第一步：编写M文件 function f,g = fun(x) f(1) = 2*x(1)2 + x(2)2 48*x(1) 40*x(2) +304; f(2) = x(1)2 3*x(2); f(3) = x(1) + 3*x(2) 18; f(4) = -x(1) x(2); f(5) = x(1) + x(2) 8; g = ; %无约束第二步：求解 x0 = 0.1, 0.1; x = minimax (fun, x0 ) 经过29次运算后，结果为：59x = 4.0000 4.0000 fun(x) ans = 0.0000 -16.0000 -2.0000 -8.0000 0.0000(2) 求上述问题的绝对值最小最大问题： 即目标函数为： abs(f1(x), abs(f2(x), abs(f3(x), abs(f4(x), abs(f5(x) 第一步：编写M文件 (与例一相同） 第二步：求解 x0 = 0.1, 0.1; options(15) = 5; %全部为绝对值最小最大分量 x = minimax( fun, x0, options ) 经过39次运算，解为： x = 8.7769 0.6613 fun(x) ans = 10.7609 -7.2391 -9.4382 1.4382 604.8最小二乘最优 nnls函数非负线性最小二乘求解