一、立体的体积二、曲面的面积三、平面薄片的重心四、平面薄片对质点的引力五、小结一、立体的体积二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积例1 计算由曲面及 xoy 面所围的立体体积。解设立体在第一卦限上 的体积为 V1。由立体的对称性，所求立 体体积 V = 4V1 。立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底为于是，例2 求两个圆柱面所围的立体在第一卦限部分的体积。解所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底为它的底为它的曲顶为于是，立体体积为例3 求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体积为 V1 ，则所求立体的体积为V1 可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底D 由半圆周及 x 轴围成。 用极坐标系表示于是 ，所求立体体积二、曲面的面积设曲面的方程为：如图，- 曲面 S 的面积元素曲面面积公式为 ：设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解设第一卦限部分的面积为 A1 ，则由对称性，所求的面积为极坐标系下表示：三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法闭区域 D 的面积解薄片对z z 轴上单位质点的引力G 为引力常数四、平面薄片对质点的引力解由积分区域的对称性知所求引力为几何应用：立体的体积、曲面的面积物理应用：重心、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）五、小结