Review1. 定义2. 性质( l 曲线弧 的长度)3. 计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧Fri. Apr. 28 2 第二型曲线积分v第二型曲线积分的概念与性质v第二型曲线积分的计算v两类曲线积分的关系一 第二型曲线积分的概念与性质实例: 变力沿曲线所作的功常力所作的功分割求和取极限近似值精确值1 概念定义上式也可以写成向量形式坐标形式物理意义：定理：第二型曲线积分与曲线的方向有关。三维空间的第二型曲线积分：对向量场定义第二型曲线积分：2 性质其物理意义可解释为：合力做的功等于每个分 力所作的功之和或差。积分路径相反，则第二型曲线积分变号。规定 ：二 第二型曲线积分的计算定理证明: 下面先证根据定义对应参数设分点由于对应参数因为L 为光滑弧 ,同理可证特殊情形例1解例2解例3解直线方程为：参数方程为：例4解积分路线如图所示，其方 程为根据曲线积分对路径的可 加性知：解 ：(1) AB 弧的参数方程为 ：(2) AOB 两条积分路线有相同的起点和终点，但积分 路径不同，积分值也不同。例6解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路 径不同而积分结果相同。积分值与路经无关。解 ：空间曲线积分用参数方程比较方便.三 两类曲线积分的关系第一类曲线积分：数量函数f(x,y)对弧长的积 分，与积分路径的方向无关，化定积分时， 下限总是小于上限；第二类曲线积分 ： 其中（可以推广到空间曲线上 ）例9证明：四、小结1对坐标曲线积分的概念2对坐标曲线积分的计算3两类曲线积分之间的联系hw：p142 3(2,5,6),4,5,7(2),8.思考题思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.练 习 题练习题答案