用心 爱心 专心1集体备课集体备课函数函数典例分析：典例分析：1 1、记函数 f(x)=的定义域为 A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a0, 得(xa1)(x2a)2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1 或 a+11, 即 a或 a2, 而 a0,则0.)(xf )(xf 所以当a=0 时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（II）当, 02, 02,02xaxaxxa或解得由时由. 02, 022xaaxx解得所以，当a0 时，函数f(x)在区间（，）内为增函数，在区间（，0）内为a2 a2减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当a0，解得 0.a2所以当a0 时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，）内为增函a2数，在区间（，+）内为减函数.a2已知函数，32( )1f xxaxxaR（）讨论函数的单调区间；( )f x（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围( )f x21 33，a解：（1）求导：32( )1f xxaxx2( )321fxxax当时，在上递增23a0( )0fx( )f xR当，求得两根为23a( )0fx23 3aax 即在递增，递减，( )f x23 3aa ，2233 33aaaa ，递增23 3aa ，（2），且解得： （难度）2232 3331 33aaaa 23a7 4a8 8、设a为实数，函数 22 ,xf xexa xR。（）求 f x的单调区间与极值；（）求证：当ln2 1a 且0x 时，221xexax。 （难度）用心 爱心 专心6设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范 围 解法一： 令g(x)(x1)ln(x1)ax， 对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得xea11， 5 分 (i)当a1 时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数， 又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)， 即当a1 时，对于所有x0，都有 f(x)ax 9 分 (ii)当a1 时，对于 0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对 0xea11，都有g(x)g(0)， 即当a1 时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立 综上，a的取值范围是（，1 12 分 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax， 于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立 3 分 对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得xea11， 6 分 当x ea11 时，g(x)0，g(x)为增函数， 当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 9 分所以要对所有x0 都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，19 9、已知函数，的导函数是，对任意两个不相等 22ln0f xxaxxx f x fx的正数，证明：12,x x（）当时，0a 1212 22f xf xxxf（）当时，4a 1212fxfxxx分析：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、 推理论证的能力，满分 14 分。证明：（）由 22lnf xxaxx得 1222 1212 12111lnln222f xf xaxxxxxx2212 1212 121ln2xxxxax xx x2 121212124ln222xxxxxxfaxx而 22222212 121212112242xxxxxxx x又222 1212121224xxxxx xx x 1212124xx x xxx 12 122xxx x12 12lnln2xxx x 0a 12 12lnln2xxax xa由、得 2 221212 121212 121214lnln22xxxxxxax xax xx xxx即 1212 22f xf xxxf（）证法一：由，得 22lnf xxaxx 222afxxxx用心 爱心 专心7 121222 11222222aafxfxxxxxxx12 1222 121222xxaxxx xx x 12 121222 1212221xxafxfxxxx xx x下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立12,x x12 22 1212221xxa x xx x即证成立12 12 122 xxax xx x12 1212 121224xxx xx xx xx x设，则 2 124,0tx x u xttt 242uxtt令得，列表如下： 0ux 32t t30,23232, u t_0 u tA极小值33 4A 333 41084u ta12 12 122 xxx xax x对任意两个不相等的正数，恒有12,x x 1212fxfxxx证法二：由，得 22lnf xxaxx 222afxxxx 121222 11222222aafxfxxxxxxx12 1222 121222xxaxxx xx x是两个不相等的正数12,x x 12 322 121212122422xxaax xx xx xx x3 1212442x xx x设，121tx x 322440u tttt则，列表： 432u tttt20,32 32,3 u t_0 u tA极小值38 27A 即 38127u 12 22 1212221xxa x xx x 12 12121222 121222xxafxfxxxxxx xx x即对任意两个不相等的正数，恒有12,x x 1212fxfxxx已知函数f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx. （）求函数f(x)的最大值；（）设 0ab,证明 0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.2ba 分析：本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合 推理论证的能力，满分 14 分.（）解：函数的定义域为.)(xf), 1(令 . 111)(xxf. 0, 0)(xxf解得当 当 又, 0)(,01xfx时. 0)(,0xfx时, 0)0(f故当且仅当x=0 时，取得最大值，最大值为 0.)(xf（）证法一：2ln)(lnln)2(2)()(bababbaabagbgag.2ln2lnbabbbaaa由（）结论知),0, 1(0)1ln(xxxx且由题设 , 021, 02,0bba aabba得因此 ,2)21ln(2lnaab aab bab,2)21ln(2lnbba bba bab所以 . 0222ln2lnbaab babbbaaa用心 爱心 专心8又. 2ln)(2ln)(2ln2ln2ln2ln,22abbababbabbbbaababbbaaabba baa综上 . 2ln)()2(2)()(0abbagbgag证法二：. 1ln)(,ln)(xxgxxxg设 ),2(2)()()(xagxgagxF则 .2lnln )2( 2)()(xaxxagxgxF当 在此内为减函数., 0)(,0xFax时), 0()(axF在当上为增函数.),()(, 0)(,axFxFax在因此时从而，当有极小值)(,xFax时).(aF因此 即 , 0)(, 0)(bFabaF所以).2(2)()(0bagbgag设 则 , 2ln)()()(axxFxG).ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG当 因此上为减函数. 0)(,0xCx时), 0()(在xG因为 , 0)(, 0)(bGabaG所以即 . 2ln)()2(2)()(abbagbgag已知函数的图象在点处的切线方程为)0()(acxbaxxf)1 (, 1 (f1 xy（）用表示出，;abc（）若在上恒成立，求的取值范围；xxfln)(, 1a（）证明：1+） （n1） 1 21 31 n) 1ln( n21n n用心 爱心 专心1