信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-1页第五章 信号与系统信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-2页第五章 连续系统的s域分析5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型点击目录 ，进入相关章节信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-3页第五章 连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。本章引入复频率 s = +j,以复指数函数est为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-4页5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难 。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信号 幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-t= Fb(+j)= f(t) e-t= 令s = + j,d =ds/j，有信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-5页5.1 拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域 只有选择适当的值才能使积分收敛，即信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域 。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-6页5.1 拉普拉斯变换例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解 可见，对于因果信号，仅当 Res=时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。 收敛域收敛边界信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-7页5.1 拉普拉斯变换例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 可见，对于反因果信号，仅当 Res=时，其收敛域 为 ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换 简记为F(s)=f(t)f(t)= -1F(s) 或 f(t) F(s)信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-10页5.1 拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换 1、(t) 1， -2、(t)或1 1/s ， 03、指数函数e-s0t -Res0cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j (t) s， -信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-11页5.2 拉普拉斯变换性质5.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质若f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s) Res2 则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2) 例 f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度变换若f(t) F(s) , Res0，且有实数a0 ，则f(at) Resa0 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-12页5.2 拉普拉斯变换性质例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) =求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-13页5.2 拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性 若f(t) F(s) , Res0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)(t-t0) e-st0F(s) , Res0 与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)例1:求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=F2(s)= F1(s)信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-14页5.2 拉普拉斯变换性质“周期信号”fT(t) 特例：T(t) 1/(1 e-sT) fT(t)= f (t)+f (t-T)+f(t-2T)+f (t-3T)+若f(t) F(s),则:信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-15页5.2 拉普拉斯变换性质例2:已知f1(t) F1(s), 求f2(t) F2(s)解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-16页5.2 拉普拉斯变换性质四、复频移（s域平移）特性 若f(t) F(s) , Res0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat F(s-sa) , Res0+a 例1:已知因果信号f(t) 的象函数F(s)= 求e-tf(3t-2) 的象函数。 解：e-tf(3t-2) 例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ? 解cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4) 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-17页5.2 拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 则f(t) sF(s) f(0-)f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 若f(t)为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 例1:(n)(t) ? 例2:例3:信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-18页5.2 拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 则 例1: t2(t) ? 例：t (t) ?信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-19页5.2 拉普拉斯变换性质例2:已知因果信号f(t)如图 ,求F(s)解：对f(t)求导得f(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s)结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t) Fn(s)则 f(t) Fn(s)/sn信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-20页5.2 拉普拉斯变换性质 七、卷积定理 时域卷积定理若因果函数 f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（s域）卷积定理 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-21页5.2 拉普拉斯变换性质八、s域微分和积分 若f(t) F(s) , Res0, 则 例1：t2e-2t(t) ?(t) 1e-2t(t) 1/(s+2) t2e-2t(t) 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-22页5.2 拉普拉斯变换性质例2：信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-23页5.2 拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f()， 而不必求出原函数f(t) 初值定理 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若 F(s)为假分式化为真分式）， 则 终值定理 若f(t)当t 时极限存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，则 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-24页5.2 拉普拉斯变换性质例1：信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-25页5.3 拉普拉斯逆变换 5.3 拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表:直接利用拉普拉斯逆变换表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为 若mn （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分 解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-26页5.3 拉普拉斯逆变换由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉 普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为 式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方 程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然 频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-27页5.3 拉普拉斯逆变换 （1）F(s)为单极点（单根）信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-28页例1:5.3 拉普拉斯逆变换信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-29页5.3 拉普拉斯逆变换信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-30页5.3 拉普拉斯逆变换例2:信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-31页5.3 拉普拉斯逆变换信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-32页5.3 拉普拉斯逆变换特例：若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = j)K2 = K1*f(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t) 若写为K1,2 = A jBf(t)= 2e-tAcos(t) Bsin(t) (t) 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-33页5.3 拉普拉斯逆变换例3信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-34页5.3 拉普拉斯逆变换信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-35页5.3 拉普拉斯逆变换（2）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r重根， K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-36页5.3 拉普拉斯逆变换举例:信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-37页5.3 拉普拉斯逆变换信号与系统湖南人文科技学院通信与控制工程系第5-38页5.4 复频域分析 5.4 复频域系统分析 一、微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始状态为y(