一直线系 一般地说，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫直线系方程，直线系方程中除含变量x，y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，简称参数.1. 经过定点的直线系方程：（1）过定点P(x0, y0)的直线yy0=k(xx0)（k为参数）是一束直线（ 方程中不包括与y轴平行的那一条）（即x=x0），所以yy0=k(xx0)是经过点P(x0, y0)的直线系方程；（2）直线y=kx+b ,（其中k为参数，b为 常数），它表示过定点(0，b)的直线系， 但不包括y轴（即x=0）；（3）经过两条直线交点的直线系方程： l1：A1x+B1y+C1=0 (A12+B120)与l2： A2x+B2y+C2=0(A22+B220)交点的直线系 为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0，（ 其中m、n为参数，m2+n20）当m=1，n=0时，方程即为l1的方程； 当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成 (A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0（其中 为参数），但是方程中不包括直线l2，这个参数方 程形式在解题中较为常用.m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0，（其 中m、n为参数，m2+n20）直线系方程：2. 平行直线系：直线y=kx+b (其中k为常数，b为参数)， 如直线y=3x+b表示的是斜率为3的所有直 线，这样的直线系方程叫做平行直线系方 程。（1）解: 设过两直线交点的直线方程为：将点（2，1）代入方程，得 ：故所求直线方程为：x+2y4=0解得:(1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x4y+5=0垂直。例1: 求过两直线x2y+4=0和x+y2=0的 交点，且满足下列条件的直线l的方程。(1)解2: 联立方程组 过两点(2,1)、(0,2)的直线方程为：即 x+2y4=0为所求.解得两线的交点:(0,2)（2）解: 将（1）中所设的方程变为：解得所求直线的斜率为 ：由已知得：故所求直线方程为：4x+3y6=0解得:(1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x4y+5=0垂直。例1: 求过两直线x2y+4=0和x+y2=0的 交点，且满足下列条件的直线l的方程。设和直线3x4y+5=0垂直的方程为: 将点(0,2)代入上式解得: m=6(2)解2: 联立方程组 故直线的方程为：4x+3y6=04x+3y+m=0 解得两线的交点:(0,2)例2设三条直线：x2y=1，2x+ky=3， 3kx+4y=5交于一点，求k的值.解：解方程组： 解得 即前两条直线的交点为 因为三直线交于一点，所以第三条直线 必过此定点， 故 解得k=1或k= 例3. 已知直线(a2)y=(3a1)x1.(1)求证无论a为何值，直线总过第一象限; (2)为使这直线不过第二象限，求a的范围.解： (1)将方程整理得为a(3xy)+(x+2y1)=0， 由直线系方程知对任意实数a，该直线恒 过直线3xy=0与x2y+1=0的交点。联立3xy=0与x2y+1=0解得直线恒过第一象限内的定点( )；(2)当a=2时，直线为 x= 此时该直线不过第二象限 。当a2时 ，直线方程化为： 若直线不过第二象限，则满足 解得a2 ，综上得，当a2时，直线不过第二象限例4. 下面三条直线l1：4xy40，l2 ：mxy0，l3：2x3my40不能构 成三角形，求m的取值集合解：（1）三条直线交于一点时：由解得l1和l2的交点A的坐标 由A点在l3上可得 解之m 或m 1 （2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这 三条直线中至少两条直线平行或重合， 当m4时，l1l2； 当m 时，l1l3； 综合（1）、（2）可知，当m1， ， ，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值范围是 例5. P1(x1，y1)是直线 l：f(x，y)=0上一点，P2(x2，y2)是直线 l 外的一点，则方程f(x，y)+f(x1，y1)+f(x2，y2)=0所表达的直线与 l 的关系是（ ）（A）重合 （B）平行（C）垂直 （D）位置关系不定B练习题：1过两直线3x+y1=0与x+2y7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ）（A）x3y+7=0 （B）x3y+13=0（C）2x7=0 （D）3xy5=0B2过点P(1，4)和Q(a，2a+2)的直线与直线2xy3=0平行，则a的值（ ）（A）a=1 （B）a1（C）a=1 （D）a1B3直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ ）（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关C4经过两条直线2x+y8=0和x2y+1=0的交点，且平行于直线4x3y7=0的直线方程是 .4x3y6=0 5直线ax+4y2=0与直线2x5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= ，c= ，m= .10 122例1求经过下列两直线的交点且斜率为 2的直线的方程。l1：3x+4y2=0，l2：2x+y+2=0.解1：解方程组又直线的斜率为2，根据点斜式方程得y2=2(x+2)即2xy+6=0.得解2：设直线的方程是(3x+4y2)+(2x+y+2)=0即(3+2)x+(4+)y2+2=0.该直线的斜率解得=代入上述方程得2xy+6=0.对称性问题： 1点对称：对称性问题：2轴对称：1.已知ABC中，B(1,2),BC边上的高线AD方程为 x-2y+1=0 ,角A平分线y=0,求AC,BC边所在直线方程.