第一章 数学预备知识,1-1 微分方程的一般概念,1-2 一阶常微分方程的基本解解法,1-3 高阶线性常微分方程解法,1-4 变分法的基本概念,1-5 矩阵代数的基础知识,1-6 函数的级数展开,凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.是联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶,根据组成方程的未知函数个数,微分的性质,幂次等,可分为常微分方程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等,一、微分方程的定义及分类,11 微分方程的一般概念,二阶常系数非其次微分方程.,一阶非线性常微分方程.,n阶常微分方程.,偏微分方程.,一阶常微分方程,常微分方程组,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解. 设 在区间 I 上有 n 阶导数，使得,二、微分方程的求解,则称 为方程 的解 微分方程的解概念,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解。,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。,（5）初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题,（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件,（3）解的图象: 微分方程的积分曲线(族),解,所求特解为,一、可分离变量的微分方程,的方程为可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解。上例方程的解为,分离变量法,12 一阶常微分方程的解法,形如,例如,二、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义：,1、一阶线性微分方程的标准形式:,齐次方程,三、 一阶线性微分方程,非齐次方程,齐次方程的通解为,1） 线性齐次方程,2、一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2）线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,常数变易法,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,例: 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线 与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解:,解此微分方程,所求曲线为,一、定义,n 阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数线性方程的标准形式,33 高阶常系数线性微分方程,(齐次),(非齐次),二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法,将其代入上述齐次方程, 得,从而得到特征值,特征方程,讨论:,两个线性无关的特解,齐次方程的通解为,特征根为,(a)有两个不相等的实根,(a)有两个相等的实根,特征根为,一特解为,得齐次方程的通解为,另一特解设为,代入原方程可求得,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,特征根的情况,通解的表达式,特征方程,齐次方程,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,结论: 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法。n 次代数方程有 n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,特征方程为,解：,特征方程为,故所求通解为,例2,解得,例1,解：,四、二阶常系数非齐次线性微分方程,对应齐次方程,通解结构,非齐次线性方程,设非齐方程特解为,代入原方程,四、二阶常系数非齐次线性微分方程,讨论：,综上讨论可设,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐 次线性微分方程（k是重根次数）,特别地,14 变分原理,泛函的定义 自变量是具有一定条件的函数，因变量是普通变量的函数关系定义为泛函。即泛函是函数的函数。记为:以积分形式构筑泛函关系 若Iy是以 定义域的泛函，其中 是在区间a ，b上的分段连续的函数集，则 Iy可表示为,一、泛函的基本知识,例如：A、B 间任一曲线长度为,泛函一般形式,或,二、函数的变分,定义 函数y的微小增量,被称为函数 y(x) 的变分,力学意义,结构构件的虚位移,其中AB 为梁的挠度曲线,CD为该梁发生虚位移后的一段挠度曲线,与导数关系,导数的变分等于变分的导数,三、泛函的变分,因而有,泛函Iy (x)的变分可由泛函,的变分获得, 而,的变分可由由泰勒级数展开法则推导获得, 即,四、泛函的极值问题变分问题,如同函数取得极值所要满足的条件一样, 泛函取到极值的条件为,() 式即为求解极值曲线的微分方程.,(),例,求图中AB曲线为最短时的函数,于是,并且,由极值条件得,从而得,可见最短为一条直线，其中的C1和C2可由边界条件求得,1、二阶行列式的概念,设有数表,a11,称数a11 a22a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：,(1),副对角线,主对角线,定义,a12,a21,a22,(),(),一、n 阶行列式的定义,1-5 矩阵代数的基础知识,引进记号：,称为对应于数表(3)的三阶行列式,2、三阶行列式,定义,设有数表,(3),副对角线,例如：,n阶行列式,定义,3、n阶行列式的定义,D的展开式为:,或者,定理 (克莱姆法则),若系数行列式,设线性方程组,二、克莱姆法则,其中Di(i=1, 2, , n)是用常数项b1, b2;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：,则方程组(1)有唯一解，且解可表示为：,(i=1, 2,n),例 解线性方程组,解：,方程组的系数行列式,所以方程组有唯一解。,又：,所以：,注：在方程组中，若所有的常数项b1= b2 = = bn = 0，则方程组称为n元齐次线性方程组。,显然有零解 x1 = x2 = = xn = 0,结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式D 0，则方程组只有零解。一般解结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D = 0。特解,由mn个数aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表,称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)mn，通常用大写字母A，B，C，表示，m行n列的矩阵A也记为Amn，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。,1、矩阵的定义,三、矩阵知识,注意：,有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵,(2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。,-行矩阵,-列矩阵,(1) 只有一行或一列的矩阵 称为行矩阵或列矩阵,有时也称为 向量, 如:,2、矩阵的运算,(1)定义: 设矩阵 A = ( aij )mn , B = ( bij )mn,则矩阵,称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B,1） 矩阵的加法,C = ( cij ) mn= ( aij + bij ) mn,(2) 性质:,设 A，B，C，O 都是 mn 矩阵, 则有,(1) A + B = B + A,(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ),(3) A + O = O + A = A,2） 矩阵的减法,(1) 负矩阵,设 A = ( aij ) mn , 则称,( aij ) mn 为A的负矩阵，简记A,显然,A+ (A)= O ,(A) = A,(2) 减法：,设 A = ( aij ) mn , B = ( bij ) mn , AB 为,AB = A + (B ) = ( aij bij ) mn,定义: 设是常数， A = ( aij ) mn ，则矩阵,( aij ) mn 称为数与矩阵A的乘积，计为 A, 即,3）数与矩阵的乘法,设 A、B 为 m n 矩阵，、u为常数,(1) ( u ) A = ( u A) = u ( A );,(2) ( A + B ) = A + B,(3) ( + u ) A = A + u A,(4) 1A = A ，(1)A = A,(2) 性质,（1）定义： 设 A = ( aij ) ms , B = ( bij ) sn , 则 A与B的乘积 C,其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和,( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n),CAB是mn矩阵，C = ( cij ) mn,4） 矩阵的乘法,例 设,试证： (1) AB = 0 ；(2) AC = AD,证：,(1),(2),故有 AC AD,(1) ( A B ) C = A ( B C ) (2) A (B + C ) = A B + A C (3) ( B + C ) A = B A + C A (4) ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) (其中 为常数),(2) 性质,5） 线性方程组的矩阵表示,设方程组为,可表示为,简记为,AXB。,A称为由线性方程组的系数矩阵。,(1)定义: 将矩阵 A mn 的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。,例如：,则,6） 矩阵的转置,(1) ( AT ) T = A (2) ( A + B ) T = A T + B T (3) ( A ) T A T (4) ( A B ) T = BT A T,(2) 性质,3、方阵,1）定义,(其中：k, l均为正整数),k个,行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An 。,则：,记,AA A = Ak,k个,称为n阶单位矩阵，简记E,显然,1. 单位矩阵,0,0,2）几类特殊方阵,2. 对角矩阵,其中 aij = 0, i j,0,0,特别：,称为数量矩阵,0,0,4、分块矩阵,定义: 如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。,例如：,一、函数的泰勒级数展开形式,其中,若函数,在y0开区间内有（n1）阶导，则,可以展开为,为,在级数展开时的误差,16 函数的级数展开,对于多元函数，若A(x,y)点的函数值为f（x，y） 则B(x+dx,y)点的函数值为,1、以2L为周期的傅里叶级数,代入傅里叶级数中,二、周期为2L的周期函数的傅里叶级数,若周期为2L的周期函数 f(x) 满足收敛条件,则它的傅里叶级数展开式为,其中,则有,则有,二元函数f（x，y）在区间（0xa，0yb） 可以展开为,三、双三角级数,注意：,矩形薄板的三角级数解就是利用荷载函数 的三角级数展开的方法来实现的,其中,解,