全概率公式和贝叶斯公式,定理：设S为试验E的样本空间， 为 S 的一个划分，且 则对任意事件A有,称为全概率公式(1),称为贝叶斯公式(2),2018/8/22,1,三种常见离散型随机变量的分布律,1、(0-1)分布,若随机变量X的分布律为：,称X服从(0-1)分布,即,2、二项分布,在n重伯努利试验中，以X表示事件A出现的次数，则X是一个随机变量，且X取值为0,1,2,n,称X服从二项分布，记为,2018/8/22,2,3、泊松分布,如果X的分布律为：,记为,其中 是常数，则称X服从参数为 的泊松分布。,2018/8/22,3,分布函数与密度函数,定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，称函数 F (x) = P X x , -x+ 为随机变量 X 的分布函数。,2018/8/22,4,三个重要的连续型随机变量的分布,定义：若随机变量X的概率密度为,则称X在 上服从均匀分布，记为,1.均匀分布,2018/8/22,5,2.指数分布,定义：若随机变量X的概率密度为,则称X服从参数为 的指数分布。,其分布函数为,2018/8/22,6,3.正态分布,定义：若随机变量X的概率密度为,则称 X 服从参数为 的正态分布。记为,其中 为常数,2018/8/22,7,定理：若 则有 。,即，若 则有,对于任意区间(x1,x2,2018/8/22,8,连续型 的边缘概率密度 及相互独立的随机变量的判断,设 的概率密度为,的概率密度为,类似， 的概率密度为,分别称 和 为 关于 的边缘概率密度。,2018/8/22,9,定义：设 和 分别是 的分布函数及边缘函数，若对任意x ,y有,则称X和Y是相互独立的。,当 是离散型随机变量时， 和 独立的条件,当 是连续型随机变量时， 和 独立的条件,2018/8/22,10,三个重要积分,2018/8/22,11,常见分布的期望和方差,分布,指数分布,2018/8/22,12,协方差常用计算公式,方差常用计算公式：,相关系数,若X与Y 的相关系数 ，则称X 与Y 不相关.,注：X 与Y 不相关,X 与Y 独立,2018/8/22,13,切比雪夫不等式,或,设随机变量X的期望为E(X)，方差为D(X),则 下列不等式成立：,随机变量序列的依概率收敛的定义,记为,成立，则称序列Xn依概率收敛于a,设X1,X2, Xn 是一个随机变量序列，如果存在常数a，使得 ，总有,2018/8/22,14,则,独立同分布的中心极限定理,或,设X1,X2, Xn 是一个独立同分布的随机变量序列， 且,2018/8/22,15,1.定义：设X1, X2, , Xn是来自总体N(0,1)的样本，则称,服从自由度为n的 分布,记为,(一) 分布,（二）t 分布,1. t 分布的定义,定义：设 且 X, Y 独立，则称,服从自由度为n的 t 分布(学生分布)。记为,2018/8/22,16,（三）F分布,定义：设 且X,Y 独立，则称,1. F 分布的定义,服从自由度为 的F 分布。记为,若 则,2018/8/22,17,定理1：设总体X 的均值为 ，方差为 ，取自总体X的 是样本， 及 是样本均值和样本方差，则有,有关 及 的几个重要结论 （复习）,定理2：设 是来自正态总体 的样本,给定 和 是样本均值和样本方差，则有,(1) 与 相互独立;,2018/8/22,18,矩估计法,2018/8/22,19,最大似然估计法,1.X为离散型随机变量，分布律为,X1, X2, , Xn 是 X 的一个样本,x1, x2, , xn 是相应于此样本的一个观察值,称 为似然函数。,取 使得：,此时的取值 作为 的估计值。,称值 为参数 的最大似然估计值。,则,称统计量 为参数 的最大似然估计量。,2018/8/22,20,2.总体X为连续型随机变量,概率密度函数为：,设 是来自总体X的样本；,是一个观察值。,则随机点落在点 的邻域，即体积微元，边长分别为 的n 维立方体内的概率近似为,由于 不随 变动，所以只要考虑,称 为似然函数。,和离散型类似，取 的估计值 使得以上概率取得最大。,称统计量 为参数 的最大似然估计量。,称值 为参数 的最大似然估计值。,2018/8/22,21,无偏性,则称 是 的无偏估计量。,定义：若估计量 的数学期望 存在，且对于任意 有,有效性,则称 较 更有效。,定义：设 与 都是 的无偏估计量，若对任意 都有,2018/8/22,22,单个正态总体 的双侧置信区间,1、均值 的置信区间,(1) 为已知,置信区间为,(2) 为未知,置信区间为,2、方差 的置信区间,当未知时,置信区间为,2018/8/22,23,单个正态总体 的单侧置信区间,1、均值 的单侧置信区间,(1) 为已知,置信上限 ,下限,(2) 为未知,置信上限 ,下限,2、方差 的单侧置信区间,当未知时,单侧置信上限为,单侧置信下限为,2018/8/22,24,正态总体均值的假设检验,单个总体 均值 的检验,1、 已知关于 的检验( Z检验法 ),统计量为,拒绝域,拒绝域,拒绝域,总体 为已知， 是来自X 的样本，给定显著性水平 。,2018/8/22,25,拒绝域,拒绝域,拒绝域,2、 未知关于 的检验( t 检验法),统计量,2018/8/22,26,拒绝域为:,单个总体 方差 的检验 ( 检验),(1)提出假设:,(2)统计量:,(4)实测值：,(5)判断,双边,右边,左边,拒绝域为:,2018/8/22,27,