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第7章 轴的强度与刚度设计,扭转 外力:构件为直杆,并在垂直于杆件轴线的平面内作用有力偶(矢量方向沿轴线的力偶)。 变形:杆件各横截面绕轴线作相对转动。 轴:以扭转变形为主要变形的构件。如:电机转轴、钻杆等。 转角:横截面绕轴线的相对角位移。,7-1 扭转时的外力偶矩 扭矩与扭矩图 7-1-1 外力偶矩 外力偶矩用T表示,矢量方向沿轴线, 或直接给定,或由外力向轴线平移得到。 国际单位制中,T的单位为N.m, 对于传递功率的轴,外力偶矩通常给的是功率和转速 设力矩为T,转速为,功率为P 由功率定义:P = T(力偶矩在单位时间内所作之功), 国际单位制中,T的单位为N.m, 的单位为rad/s(弧度/秒), 功率的单位为W(瓦)(焦耳/秒) 工程实际中,功率的单位为KW(千瓦), 转速的单位为r/min(转/分), 单位转换 1KW=1000N.m, =2n/60,代入有 T=P/=1000 P60/2n=9549P/n(N.m) 即:T = 9549P/n(N.m) 式中,P的单位为KW (千瓦),n的单位为r/min(转/分)。,7-1-2 扭矩与扭矩图,扭矩矢量方向垂直于横截面的内力偶矩。 扭矩符号规定:扭矩矢量与截面外法线方向一致者为正;反之为负(矢量指向离开截面为正,指向截面为负)。 计算时,采用“设正法”。 扭矩的计算方法截面法: 在要求计算扭矩的截面,用一假想截面截开,取其中一部分为研究对象,利用力矩平衡方程求解。 如图计算m-m截面扭矩,从m-m截面截开,取左半部分为研究对象,由平衡条件列方程 Mx=0 Mx-T=0 解得Mx=T 可以取右半部分为研究对象验证。,扭矩图表示扭矩沿杆轴线变化情况的图形。 计算方法与轴力图方法相似: 1.确定分段(集中力偶作用处) 2.写出扭矩方程 3.画扭矩图(线段形状、正负、端值),例题7-1圆轴上有四个绕轴线转动的外力偶,如图所示。试画出该轴的扭矩图。 解:1.确定分段:根据外力偶情况,分为AB、BC、CD三段; 2.分段计算扭矩 AB段:取左半段 Mx=0 Mx1+315=0 BC段:取左半段 Mx=0 Mx2+315+315=0 CD段:取右半段 Mx=0 -Mx3+486=0 解得: Mx1=-315N.m Mx2=-630 N.m Mx3=486N.m 3.画扭矩图 各段均为水平直线 注明端值、正负、单位,7-2 切应力互等定理 剪切胡克定律,7-2-1切应力互等定理 考察图(a)所示微元,ABCD面为对应圆轴横截面,面上切应力为,合力为dydz 。 考虑微体的平衡:对应截面切应力也应为,方向相反,二力组成一个力偶 力偶矩为dydzdx。 设上下截面切应力为,也组成一个力偶,力偶矩为dydxdz。 由力偶平衡条件M=0 ,有:dydxdz-dydzdx=0 解得 = 在微体的两个互垂截面上,垂直于截面交线(即微体棱边)的切应力数值相等,其方向均指向或均背离该交线。此关系称为切应力互等定理。,7-2-2 剪切胡克定律,切应变微体在切应力作用下,互垂侧边所夹直角的改变量,用表示 。 在弹性范围内加载,即切应力在比例极限内,切应力和切应变成正比关系。有 =G 称为剪切胡克定律 G为比例常数,称为剪切弹性模量或切变模量。 G的量纲与切应力相同,其值与材料性质有关,钢材G=8084GPa.,7-3 圆轴扭转时的应力、变形计算,7-3-1 变形特点 受扭前,在圆轴表面用互相平行的圆周线和纵向线划分成许多小矩形格; 受扭后,矩形格变成了平行四边形,纵向线段不发生伸长或缩短,圆周线保持不变。 1.平面假定:横截面变形前为平面,变形后仍保持平面,只是绕轴线转过一个角度。 2.变形后,相邻横截面间的距离不变。 各同轴圆柱面转过角度相同,但切应变不同。 切应变与圆柱表面到轴心的距离(半径)成正比。 横截面上只有切应力,与半径成正比; 没有正应力。,用相距dx的两个横截面以及夹角无限小的两个径向截面从轴中切取一楔形体,轴表层的矩形ABCD变为平行四边形ABCD,距轴线处的矩形abcd变为abcd,均产生剪切变形。 d相同, 不相同。 设距轴线处的所切楔体左右两横截面相对转角即扭转角为d,矩形abcd的剪应变为(),则由图看出 ()tg () =cc/ac= d/dx 即()= d/dx d/dx代表扭转角沿杆轴的变化率。对同一横截面,为一常数, 可见()与成正比变形的几何关系 7-3-2 切应力分布特点 将胡克定律=G代入,得到距轴线为处的切应力为 ( )= G()= G d/dx 物理关系 对一个截面,G、 d/dx是常量,与成正比。,7-3-3 切应力计算公式 考察距截面中心处的微元d,其面积为dA,作用在微元上的力为( )dA,对中心之矩为()dA)。将截面上所有微元上的力对中心之矩积分,即为该截面的扭矩Mx, 即A ()dA= Mx 静力学关系 将()= G d/dx 代入,得到 A G d/dx 2 dA= Mx 将G d/dx提出,得到 G d/dx A 2 dA= Mx 令IP=A 2 dA, d/dx = Mx / GA2 dA 得到 d/dx = Mx /GIP 计算变形的基本公式 代入到()= G d/dx得 ()= Mx/IP 切应力计算公式,公式适用条件:圆截面轴,应力在剪切比例极限内 分析横截面上切应力分布特点: 1.横截面上各点的切应力与该点到轴线的距离成正比,同一半径上各点的切应力相等,横截面外沿处切应力最大,中心处切应力为零; 2.横截面上各点的切应力垂直于该点所在的半径方向。 3.切应力方向由“ dA对轴线之矩的方向与该截面上的扭矩方向一致”确定,IP =A 2 dA为与圆轴截面尺寸有关的量,称为极惯性矩。 直径为d的实心圆轴: IP =d4 /32 内径为d,外径为D的空心圆轴: IP =D4 (1-4)/32 , =d/D,最大切应力 横截面上最大切应力在横截面边缘处, max= Mx R / IP= Mx /(IP/ R) 令WP= IP/ R得到 max= Mx / WP WP是与截面尺寸有关的量,称为圆截面的扭转截面系数 直径为d的实心圆轴: WP = IP/(d/2) =d3 /16 内径为d,外径为D的空心圆轴: WP =D3 (1-4)/16,7-3-4 相对扭转角计算公式,由d/dx=Mx/GIP得到相邻截面的相对扭转角为 d=Mxdx/GIP 两端积分0 d=0l Mxdx/GIP 如果在长度l内,扭矩和截面尺寸为常量,积分得到 =Mx l /GIP 如果在长度l内,扭矩和截面尺寸不为常量,则需分段计算,然后进行代数叠加,得到 =Mxi li /GIPi,7-4 剪切时材料的力学性能,低碳钢扭转试验:经历线弹性、屈服和破坏三个主要阶段,有屈服应力s和强度极限b,最后沿横截面被剪断。 铸铁受扭时,变形始终很小,没有明显的线弹性阶段和屈服阶段,只有强度极限b,最后在与轴线约成45倾角的螺旋面发生断裂。,7-5 圆轴扭转时的强度与刚度设计,7-5-1强度设计 强度条件max=( Mx / WP) max 对等截面轴有 max= Mx max / WP 脆性材料= b/ n b 韧性材料= s/ n s 与关系: 脆性材料= 韧性材料=(0.50.577),7-5-2刚度设计 刚度条件: =/ l = Mx /GIP , 工作时单位长度上的最大相对扭转角,单位为rad/m, 为单位长度上的相对许用扭转角, 单位为()/m, 的数值与轴的工作条件有关: 精密机械的轴,=0.250.5 ()/m; 一般传动轴, =0.51.0 ()/m; 刚度要求不高的轴, =2()/m。 Mx/GIP 计算时注意两端单位统一: 采用rad/m,右边乘以/180, 采用()/m,左边乘以180/。,应用强度条件和刚度条件,解决三方面问题: 1.校核强度:( Mx / WP)max ; Mx/GIP 2.确定许用载荷:Mx max WP; Mx GIP 3.确定截面尺寸:WP Mx max / ; IP Mx max /G ,确定轴的直径 若同时提出强度要求和刚度要求,一般由强度条件计算,再由刚度条件进行校核,例题7-2在图示传动机构中,水平E轴的转速n1=120r/min,从B轮上输入功率P=14KW,此功率的一半通过锥形齿轮传给铅垂C轴,另一半传给水平H轴。若锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36和z3=12,各轴直径分别为d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm。轴为钢制, =29.4MPa。试校核各轴强度。,解:1.计算各轴所受外力偶矩和扭矩 已知各轴传递功率分别为 P1=14KW, P2=P3=14/2=7KW, 各轴转速为n1=n2=120r/min,n3=n1z1/z3=12036/12=360r/min 由T=9549P/n得到各轴所受外力偶矩, 各轴扭矩与所受外力偶矩相等,分别为 E轴:Mx1=T1=9549P1/n1 =954914/120=1114N.m H轴:Mx2=T2=9549P2/n2 =95497/120=557N.m C轴:Mx3=T3=9549P3/n3 =95497/360=185.7N.m,2.强度校核 对C轴: 3max= Mx 3 / WP3=16185.7103 /353=22MPa =29.4MPa 对H轴: 2max= Mx 2 / WP2=16557103 /503=22.7MPa =29.4MPa 对E轴: 1max= Mx1 / WP1=161114103 /703=16.6MPa =29.4MPa 三根轴均符合强度要求 3.可以先判断危险状态,然后再对危险轴进行校核 根据max= Mx max / WP=16Mx max /d3 分析比较各轴应力 比较E、C二轴: Mx1/Mx3=1114/185.7=6, WP1/ WP3= d13/d33 = (2d3)3/d33=8 1max/3max = Mx1 max WP3 = / Mx3 max WP1 = 6/8 =0.75 C轴比E轴危险; 比较E、H二轴: Mx1/Mx2=2,WP1/ WP2= d13/d23 = (1.4d2) 3/d23=2.74 1max /2max =2/2.74=0.73 H轴比E轴危险,校核C轴和H轴,例题7-2实心轴与空心轴通过牙嵌离合器相联,已知转速n=100r/min,传递功率p=7.5KW,材料=39.3MPa。实心轴直径为d1,空心轴内外径之比d2/D2=0.5, 求:1.由强度条件确定d1,D2; 2.实心轴与空心轴横截面面积之比。,解:1.因两轴转速相等,传递功率也相等,所以扭矩相等: Mx=T=9549P/n=95497.5/100=716.2N.m 由强度条件max= Mx / WP, 对实心轴:WP=d13 /16 代入得到 d1316 Mx / = 316716.2 103 / 39.3=45.3mm 对空心圆轴: WP =D23 (1-4)/16 代入得到 D2316 Mx / (1-4) = 316716.2 103 / (1-0.54)39.3 =46.3mm 2.实心轴与空心轴横截面面积之比 A1/A2= d12/D22(1-2) = d12/D22(1-2) =45.32/46.32(1-0.52)=1.28 承受相同的载荷,空心轴比实心轴面积小。,
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