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1,二次型和对称 矩阵的有定性,第三节,2,一、正定二次型正定矩阵,定义,由定义,可得以下结论:,充分性是显然的;下面用反证法证必要性:,代入二次型,得,3,由上述两个结论可知,研究二次型的正定性,只要通过非退化线性变换,将其化为标准形,就容易由以下定理判别其正定性。,4,定理,推论,实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值,全为正。,正定矩阵。,这是因为:,5,解,例1 判别二次型,是否正定。,二次型对应的矩阵为,6,全为正,,因此二次型正定。,7,定理,设矩阵A正定,则,(1)A的主对角元全为正;,证明,8,上述定理是A正定的必要条件,但不是充分条件。,定理,9,解,例2 判别二次型,是否正定。,二次型对应的矩阵为,它的顺序主子式为:,因此 A是正定的,,即二次型 f 正定。,10,解,例3 设有实二次型,问 t 取何值时,该二次型为正定二次型?,f 的矩阵为,顺序主子式为:,解得,11,实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C,使得,实际上,正定二次型的规范形为,即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ,,即存在可逆矩阵C ,使,12,证,因为,于是,13,2、其它有定二次型,定义,如果二次型不是有定的,就称为不定二次型。,14,显然,A是负定(半负定 )的当且仅当-A是正定(半正定)的。由此,容易得出以下结论:,(2)A负定的充分必要条件是A的特征值全负;,(3)A半负定的充分必要条件是A的特征值非正;,(4)A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正;,(1)A半正定的充分必要条件是A的特征值非负;,(5)若A负定,则A的对角元全为负。,注意: 1.最后一条只是必要条件。,2.A的顺序主子式全非负, A也未必是半正定的。,15,例如,设矩阵,显然A的顺序主子式,但对角元有正有负,显然A是不定的。,16,例5,判定下列二次型是否是有定二次型。,解,(1)f 的矩阵为,顺序主子式,所以 f 是负定的。,17,例5,判定下列二次型是否是有定二次型。,解,(2)f 的矩阵为,顺序主子式,所以 f 是不定的。,18,练习:,P222 习题五,19,END,END,20,选用例题,1、,解,C是正定的。,且C是实对称阵,故C是正定矩阵。,21,证,必要性,充分性:,将上述过程逆推,即可得证.,
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