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第6章 向量空间,6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间,向量空间(Vector Spaces)又称线性空间(Linear Spaces).本章的特点及要求:,向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一,是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景,又在许多领域(包括数学本身)中有着广泛的应用,例如:线性非常组解的结构. 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数系统,就是带有运算的集合.通过本章的学习,初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.,6.1 向量空间的定义和例子,引例定义产生的背景. 向量空间的定义抽象出的数学本质. 进一步的例子加深对定义的理解. 一些简单性质.,1. 引例定义产生的背景,A+B=B+A (A+B)+C= A+( B+C) OA=A A+(-A)=O,a(A+B)= aA+Ab (a+b)B=a B +Bb (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的: 8. 1AA,例2 设R是实数域,V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法(平行四边形法则),可以用R中的一个数乘一个向量,加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的方法,向量可以用的坐标(x,y,z)来表达,加法和数乘都有表达式, 类似的问题许多,有必要总结它们的共性:,涉及两个集合(其中一个集合).涉及两种运算(什么样的运算?).满足8条运算性质.,2. 向量空间的定义抽象出的数学本质,定义1 设F是一个数域,V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量,V称为向量空间,如果下列条件成立:,闭合性: (c1) V上有(闭合的)加法运算,即:对任意u,v属于V, 一定有u+v属于V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算,即:对任意F中数 和V中元素v, 一定有: v属于V.,加法的性质: (a1) u+v= v +u,对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量,记作o, 它满足:v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足:u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.,乘法的性质:,(m1),(m2),(m3),(m4) 1u= u 对所有u属于V.,3. 进一步的例子加深定义的理解,例4 数域F上一元多项式集合Fx按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间,称为多项式空间.,证明:根据多项式加法和数乘的定义,,(a2) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+ g(x) +h(x) ,(a3) 0向量就是零多项式.,(a4) f(x)的负向量为(- f(x)).,例5 Ca,b表示区间a,b上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间,称为函数空间. 证明: 比照例3,给出完整步骤.,例6 (1)数域F是F上的向量空间. (2)R是Q上的向量 空间,R是否为C上的向量空间?,例7 设数域取R, 集合为R+(实数),加法和数乘定义为:,证明:,注3:运算可以是通常的,可以重新定义的. 如何理解运算? 注4:取数乘为通常的乘法如何?,向量空间与运算有关. 注5:证明向量空间需要10条性质,其中:8条是验证,2条需要解方程求出零向量与负向量.,证明:留作课外练习.,4. 简单性质,(1) 零向量0是唯一的. (2) 一个向量v的负向量是唯一的,用(- v)表示.,(5),6.2 子空间,一、内容分布,6.2.1 子空间的概念,6.2.2子空间的交与和.,二、教学目的,1理解并掌握子空间的概念.,2掌握子空间的判别方法,熟悉几种常见的子空间.,3掌握子空间的交与和的概念.,三、重点、难点,子空间的判别,子空间的交与和,6.2.1 子空间的概念,设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集.对于W 中任意两个向量,它们的和+是V中一个向量. 一般说来,+不一定在W 内.如果W中任意两个向量的和仍在W内,那么就说,W对于V的加法是封闭的. 同样,如果对于W中任意向量和数域F中任意数a,a仍在W内,那么就说,W 对于标量与向量的乘法是封闭的.,定理6.2.1,设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的,那么本身也作成上一个向量空间.,定义1,令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的,那么就称W是V 的一个子空间.,由定理6.2.1,V的一个子空间也是F上一个向量空间,并且一定含有V的零向量。,例1,向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面,单独一个零向量所成的集合0显然对于V的加法和标量与向量的乘法是封闭,因而也是V的一个子空间,称为零空间。,一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。,例2,是不是 的子空间?是不是 的子空间?,解 U中的矩阵是上三角形矩阵,显然U为向量空间 的非空子集。又中 的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法,而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵,一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵,所以,由子空间的定义 ,U是 的 一个子空间。,不是 的子空间,因为n阶单位矩阵I及 I W,但,在空间V2里,平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里,平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的子空间(6.1,例1)。,例3,例4,中一切形如,的向量作成 的一个子空间。,例5,F x中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成F x的一个子空间。,例6,闭区间a,b上一切可微分函数作成C a,b的一个子空间。,例7,设,(1) 把满足AX = 0的解X表示为 ,,显然 。并记AX = 0的解集为,证明 是向量空间 的一个子空间。,(2) 记AX = 的解集为 是否也是 的一个字空间?这里,证明 (1)首先,,,且A0 = 0,所以, 。,其次,如果 那么 所以 ,对于任何 。故 对于 的两种运算封闭, 是向量空间 的一个子空间。,定理6.2.2,向量空间W的一个非空子集W是V的一个子空间,要且只要对于任意a,bF和任意,W,都有a+bW,(2)可以知道,在0 的时候, 不一定是 的子空间。因为对任何 ,都有A (X + Y) = AX +AY =+,故 对 的加法不封闭。,6.2.2子空间的交与和,设W1,W2是向量空间V的二个子空间,那么它们的交W1W2也是V的一个子空间.,一般,设 Wi 是向量空间V的一组子空间(个数可以有限,也可以无限).令 表示这些子空间的交。如同上面一样可以证明,也是V的一个子空间.,作为子集的二个子空间W1与W2 的并集,一般说来不是子空间,现在考虑V的子集。,由于0W1,0W2,所以0=0+0W1+W2,因此W1+W2。设a, bF, ,W1+W2, 那么, 因为W1,W2都是子空间,所以 , ,于是,这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做W1与W2 的和.,图6-2-1,图6-2-2,图6-2-3,例8 在 中,终点位于过原点的同一条直线l上的所有向量作成 的子空间W。为叙述简便,也说W就是过原点的直线 l ,直线 l 是 的子空间(图6-2-1)。这样, 中过原点的直线都是 的子空间。同理, 中以过原点的平面上的点为终点的所有向量作成 的子空间。这样,过原点的平面都是 的子空间(图6-2-2)。,两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子空间的情形.设W1,W2,,Wn是V 的子空间.容易证明,一切形如 的向量作为V 的一个子空间,这个子空间称为子空间W1,W2,,Wn的和,并且用符号W1+W2+Wn来表示.,不过原点的直线不能作成 的子空间,如图6-2-3所示, 为不过原点的直线,以 上两点A,B为终点的向量,的和+按平行四边形法则 ,其终点C不在 上,因此 不能作成 的子空间。同样,不过原点的平面也不能作成 的子空间。,6.3向量的线性相关,一、内容分布,6.3.1 线性组合与线性表示,6.3.2 线性相关与线性无关,6.3.3 向量组等价,6.3.4 向量组的极大线性无关组,二、教学目的,1准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别,2理解向量组的等价及极大无关组的概念,3掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法,三、重点、难点,线性相关性(无关)、向量组的极大线性无关组等概念,替换定理的证明,6.3.1 线性组合与线性表示,定义1,设 是向量空间V的r个向量, 是数域F中任意r个数. 我们把和,叫做向量 的一个向量组合.,如果V 中某一向量可以表示成向量 的线性组合,我们也说可以由 线性表示.,零向量显然可以由任意一组向量 线性表示,因为,6.3.2 线性相关与线性无关,定义2,设 是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数 使得,(1),那么就说 线性相关.,如果不存在F中不全为零的数 使得等式(1)成立,换句话说,等式(1)仅当 时才成立,那么就说,向量 线性无关.,例1,令F是任意一个数域。 中向量,
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